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On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes (4 as, 4 rois, 4 dames....).
On considère les événements:
- A: "la carte obtenue est un trèfle"
- B: "la carte obtenue est un roi"
  1. Quel est le nombre total d'issues possibles?
    Pour chaque carte tirée, on a un résultat différent: As de pique, roi de trèfle...
    Il y a 32 cartes différentes dans le jeu
  2. Calculer la probabilité de l'événement $A$

    Probabilité avec une loi équirépartie


    Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement A est $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
    Il y a 8 cartes de trèfle (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as).
    Il y a au total 8 cartes de trèfle
    donc $p(A)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$.
  3. Calculer la probabilité de l'événement $B$

    Probabilité avec une loi équirépartie


    Dans le cas d'une loi équirépartie, la probabilité d'un événement A est $p(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
    Il y a 4 rois dans le jeu.
    Il y a au total 4 rois
    donc $p(B)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.
  4. Que signifie l'événement $A\cap B$?
    Calculer la probabilité de $A\cap B$.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    On veut que $A$ et $B$ soient réalisés simultanément
    $A\cap B$ est l'événement " la carte tirée est un roi de trèfle"
    donc $p(A\cap B)=\dfrac{1}{32}$
  5. Que signifie l'événement $\overline{A}$?
    Calculer sa probabilité.

    Notations des événements et probabilités


    $\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
    $\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
    $\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$
    On veut obtenir une carte qui ne soit pas un trèfle
    $\overline{A}$ est le contraire de $A$
    donc $\overline{A}$ est l'événement "on obtient une carte qui n'est pas un trèfle" soit un coeur, un carreau ou un pique.
    Il y a $32-8=24$ cartes possibles donc $p(\overline{A})=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4}$
  6. Que signifie l'événement $A\cup B$?
    Calculer sa probabilité.

    Intersection (A et B) et réunion (A ou B)


    Soient A et B deux événements.
    L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
    Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.

    L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.

    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    On veut obtenir un trèfle ou bien un roi.
    $A\cup B$ est l'événement "on obtient un trèfle ou bien un roi"
    Il y a 8 trèfles (dont le roi de trèfle) et 4 rois (dont le roi de trèfle)
    donc il y a 11 cartes possibles ($8+4-1$ car le roi de trèfle est compté deux fois)
    donc $p(A\cup B)=\dfrac{11}{32}$


    On peut aussi calculer $p(A\cup B)$ en utilisant $p(A\cap B)$.
    $p(A\cup B)=p(A)+p(B)+p(A\cap B)=\dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32}-\dfrac{1}{32}=\dfrac{11}{32}$

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