Lorsque $x \longrightarrow 0^+$ alors $x^2 \longrightarrow 0^+$ ($x$ est très proche de $0$ et positif)
et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=+\infty$

Pour tout $A > 0$, sachant que $x >0$, on a:
$\dfrac{1}{x^2}>A \Longleftrightarrow 0 < x^2 < \dfrac{1}{A} \Longleftrightarrow 0< x < \sqrt{\dfrac{1}{A}}$.
En prenant $X_0=\dfrac{1}{\sqrt{A}}$ (on a $\sqrt{\dfrac{1}{A}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{A}}=\dfrac{1}{\sqrt{A}}$)
Pour tout réel $A >0$, il existe $X_0 >0$ tel que $f(x) >A$ pour tout $x\in ]0;X_0[$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=+\infty$
En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
$\forall A > 0$, $\exists X_0$ tel que $f(x) > A$ $\forall x\in]0;X_0[$ (même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)
Remarque
On a alors l'axe des ordonnées (équation $x=0$) pour asymptote à la courbe représentative de $f$.

Lorsque $x \longrightarrow +\infty$ alors $x^2 \longrightarrow +\infty$
et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$

Pour tout $\varepsilon > 0$, sachant que $x > 0$, on a:
$0 < \dfrac{1}{x^2}< \varepsilon \Longleftrightarrow 0 < x^2 < \dfrac{1}{\varepsilon} \Longleftrightarrow 0< x < \sqrt{\dfrac{1}{\varepsilon}}$.
On pose $X_0=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$
Pour tout réel $\varepsilon >0$, il existe une réel $X_0$ tel que $0< f(x) < \varepsilon$ pour tout $x> X_0$.
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
$\forall \varepsilon>0$, $\exists X_0$ tel que $\forall x>X_0$ on a $0 < f(x)< \varepsilon$ (même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)
Remarque
On a alors l'axe des abscisses (équation $y=0$) pour asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$