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On considère la fonction $f$ définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.
  1. Conjecturer (donner sans justifier) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$ puis $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
    On veut savoir ce qui se passe pour $f(x)$ quand $x \longrightarrow 2$ avec $x> 2 $ et vers quelle valeur se "rapproche" le dénominateur
    On peut chercher d'abord ce qui se passe pour $x-2$ quand $x\longrightarrow +\infty$
    Lorsque $x \longrightarrow 2^+$ alors $x-2$ se rapproche de $0$ et $x-2>0$ (car $x>2$)


    On peut aussi calculer $f(x)$ pour des valeurs très proches de $2$, $f(2,1)$, $f(2,01)$, $f(2,001)$...
    Lorsque $x$ devient très grand, le dénominateur est très grand


    On peut aussi calculer $f(x)$ pour des valeurs très grande de $x$, $f(10)$, $f(100)$, $f(1000)$...
  2. Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$

    Limite infinie quand $x \longrightarrow a$


    $f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
    La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.
    On veut montrer que pour tout $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $2 < x < X_0$ on ait $f(x) > A$
    Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est "proche" de 2 avec $x > 2$.
    Pour tout $A > 0$, sachant que $x > 2$, on a:
    $\dfrac{1}{x-2} > A \Longleftrightarrow 0 < x-2 < \dfrac{1}{A} \Longleftrightarrow 2 < x < \dfrac{1}{A}+2$.
    En prenant $\varepsilon=\dfrac{1}{A}$
    Pour tout réel $A >0$, il existe $\varepsilon >0$ tel que $f(x) > A$ pour tout $x\in ]2;2+\varepsilon[$.

    En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
    $\forall A>0$, $\exists \varepsilon> 0$ tel que $f(x)> A$ $\forall x\in ]2;2+\varepsilon[$(même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)

    On a alors la droite d'équation $x=2$ pour asymptote à la courbe représentative de $f$.
  3. Interpréter graphiquement la limite ci-dessus
    La droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe.
  4. Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$

    limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique


    La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

    La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$
    On veut montrer que pour tout réel $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $x> X_0 $ on ait $f(x)> A$
    Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ devient très grand
    ou bien encore qu'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est très grand
    Pour tout $A >0$
    $\dfrac{1}{x-2} >A \Longleftrightarrow 1< A(x-2) \Longleftrightarrow 1+2A $ \dfrac{1+2A}{A}=\dfrac{1}{A}+A$
    En prenant $x_0=\dfrac{1}{A}+A$, pour tout réel $A >0$, Il existe $x_0$ tel que $f(x)> A$ pour tout $x > x_0$

    En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
    $\forall A>0$, $\exists x_0 $ tel que $f(x)> A$ $\forall x> x_0$(même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)
  5. Interpréter graphiquement la limite ci-dessus
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
    donc la droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) est asymptote à la courbe en $+\infty$.

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