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On veut résoudre l'équation $x^3+5x^2-x-5=0$
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- Montrer que pour tout réel $x$, on a: $x^3+5x^2-x-5=(x+1)(x^2+4x-5)$
- En déduire les solutions de $x^3+5x^2-x-5=0$
Produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
$a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Utiliser la forme factorisée de la question 1 pour résoudre l'équation
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.$(x+1)(x^2+4x-5)=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)(x^2+4x-5)=0$
$\Longleftrightarrow x+1=0$ ou bien $x^2+4x-5=0$
$\Longleftrightarrow x=-1$ ou bien $x^2+4x-5=0$
Recherche des solutions de $x^2+4x-5=0$ On peut remarquer que la somme des coefficients est nulle donc $x_1=1$ est une solution.
$x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $1\times x_2=\dfrac{-5}{1}=-5$ soit $x_2=-5$
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