SOUTIEN MATHS EN LIGNE Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
- Montrer que $2^5\equiv -1$ $(11)$
Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$$2^5=32$ et donc $2^5-(-1)=33=3\times 11$
donc $2^{5}-(-1)\equiv 0$ $(11)$
- Quel est alors le reste dans la division euclidienne de $(-2)^{19}$ par $11$?
Propriété de la relation de congruence
Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$ on a:
- $a\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ alors $b\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ et $b\equiv c$ $(n)$ alors $a\equiv c$ $(n)$Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$$19=3\times 5+4$
donc $(-2)^{19}=-\left(2^5\right)^3\times 2^4$
$2^5\equiv -1$ $(11)$
donc $(2^5)^3\equiv (-1)^3$ $(11)$ soit $(2^5)^3\equiv -1$ $(11)$
$2^4=16=1\times 11+5$ donc $2^4\equiv 5$ $(11)$
Par produit on a donc $2^{15}\times 2^4\equiv -1\times 5$ $(11)$
soit $2^{19}\equiv -5$ $(11)$
et $-1\equiv -1$ $(11)$
donc $(-2)^{19}\equiv 5$ $(11)$
- Montrer que $13^2\equiv 4$ $(11)$.
Quel est alors le reste dans la division euclidienne de $13^{12}$ par $11$?Propriété de la relation de congruence
Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$ on a:
- $a\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ alors $b\equiv a$ $(n)$
- Si $a\equiv b$ $(n)$ et $b\equiv c$ $(n)$ alors $a\equiv c$ $(n)$Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$$13=1\times 11+2$ donc $13\equiv 2$ $(11)$
et $13^{12}=13{10}\times 13^2=(13^5)^2\times 13^2$$13^2=169=11\times 15+4$ donc $169\equiv 4$ $(11)$
$13=1\times 11+2$ donc $13\equiv 2$ $(11)$
donc $13^{5}\equiv 2^{5}$ $(11)$ et $2^5\equiv -1$ $(11)$
donc $13^5\equiv -1$ $(11)$
et $13^{12}=13^{10}\times 13^2=(13^5)^2\times 13^2$
$13^5\equiv -1$ $(11)$ donc $(13^5)^2\equiv (-1)^2$ $(11)$ soit $13^{10}\equiv 1$ $(11)$
En utilisant le produit on a donc $13^{10}\times 13^2\equiv 1\times 4$ $(11)$
donc $13^{12}\equiv 4 $ $(11)$
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit) - Montrer que $13^2\equiv 4$ $(11)$.