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- Donner la liste des restes dans la division euclidienne de $5^n$ par $11$
Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs avec $b\neq 0$.
La division euclidienne de $a$ par $b$ c'est associer un unique couple $(q;r)$ avec $q$ entier relatif et $r$ entier naturel tel que $a=bq+r$ avec $0\leq r< |b|$.
$a$ est le dividende, $b$ le diviseur, $q$ est le quotient et $r$ le reste.On peut chercher les restes de $5^0$, $5^1$...$5^0=1$ donc $5^0\equiv 1$ $(11)$
$5^1=5$ donc $5^1\equiv 5$ $(11)$
$5^2=25$ donc $5^2\equiv 3$ $(11)$ car $25=11\times 2+3$
$5^3=125$ donc $5^3\equiv 4$ $(11)$ car $125=11\times 11+4$
$5^4=625$ donc $5^4\equiv 9$ $(11)$ car $625=11\times 56+9$
$5^5=3125$ donc $5^5\equiv 1$ $(11)$ car $3125=11\times 284+1$
On retrouve le même reste que pour $5^0$ donc on a une période de $5$.
On a les restes $1$, $3$, $4$, $5$ et $9$.
On pose $n=5q+r$ avec $q$ et $r$ entiers naturels et $0\leq r < 5$ donc $5^n=5^{5q+r}$
$5^n=5^{5q+r}= (5^5)^q\times 5^r$
$5^5 \equiv 1$ $(11)$ donc $5^{5q}\equiv 1^q$ $(11)$ soit $5^{5q}\equiv 1$ $(11)$
donc $5^n\equiv 1\times 5^r $ $(11)$ soit $5^n\equiv 5^r$ $(11)$
- En déduire les valeurs de $n$ telles que $5^n+2$ soit divisible par $11$.
On peut déterminer à quel nombre est congru $5^n$ modulo $11$ puis utiliser le tableau de la question 1$5^n+2$ divisible par $11\Longleftrightarrow 5^n+2\equiv 0$ $(11)$
donc $5^n\equiv -2$ $(11)$ et $-2\equiv 9$ $(11)$
avec le tableau du 1, on a $5^n\equiv 9$ $(11)$ pour $n\equiv 4$ $(5)$
Les valeurs possibles de $n$ sont $n=4$, $n=9$, $n=13$, $n=18$...
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