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- La différence entre deux entiers naturels est $538$ et si l'on divise l'un par l'autre le quotient est $13$ et le reste $34$.
Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs avec $b\neq 0$.
La division euclidienne de $a$ par $b$ c'est associer un unique couple $(q;r)$ avec $q$ entier relatif et $r$ entier naturel tel que $a=bq+r$ avec $0\leq r< |b|$.
$a$ est le dividende, $b$ le diviseur, $q$ est le quotient et $r$ le reste.écrire deux équations d'inconnues x$x$ et $y$ les deux entiers cherchésSoit $x$ et $y$ les deux entiers cherchés.
on a $x-y=538$ et $x=13y+34$ avec $y>34$
$\begin{cases} x-y=538\\ x=13y+34 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=538+y\\538+y=13y+34\end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x-y=538\\ x=13y+34 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=538+y\\-12y=-504\end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x-y=538\\ x=13y+34 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=538+y\\y=\dfrac{504}{12}\end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x-y=538\\ x=13y+17 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases}x=538+42=580\\y=42\end{cases}$
- Déterminer, si cela est possible, deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que la division de $n$ par $p$ donne un quotient de $3$ et un reste de $6$ et la division et la division de $p$ par $2$ donne un quotient $n$ et un reste de $1$
On a $n=3p+6$ et $p>6$
et $p=2n+1$ (donc $p$ impair)
$\begin{cases} n=3p+6\\ p=2n+1 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}n=3p+6\\ p=2(3p+6)+1\end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} n=3p+6\\ p=2n+1 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases}n=3p+6\\ p=6p+12+1\end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} n=3p+6\\ p=2n+1 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases}n=3p+6\\ -5p=13\end{cases}$
or $p \in \mathbb{N}$ donc $p$ ne peut être égal à $\dfrac{-13}{5}$
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