Publications MATHS-LYCEE.FR
Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
On considère la fonction $f$ définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
- Conjecturer (donner sans justifier) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$ puis $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
On veut savoir ce qui se passe pour $f(x)$ quand $x \longrightarrow 2$ avec $x> 2 $ et vers quelle valeur se "rapproche" le dénominateur
On peut chercher d'abord ce qui se passe pour $x-2$ quand $x\longrightarrow +\infty$Lorsque $x \longrightarrow 2^+$ alors $x-2$ se rapproche de $0$ et $x-2>0$ (car $x>2$)
On peut aussi calculer $f(x)$ pour des valeurs très proches de $2$, $f(2,1)$, $f(2,01)$, $f(2,001)$...
Lorsque $x$ devient très grand, le dénominateur est très grand
On peut aussi calculer $f(x)$ pour des valeurs très grande de $x$, $f(10)$, $f(100)$, $f(1000)$... - Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.
On veut montrer que pour tout $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $2 < x < X_0$ on ait $f(x) > A$
Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est "proche" de 2 avec $x > 2$.Pour tout $A > 0$, sachant que $x > 2$, on a:
$\dfrac{1}{x-2} > A \Longleftrightarrow 0 < x-2 < \dfrac{1}{A} \Longleftrightarrow 2 < x < \dfrac{1}{A}+2$.
En prenant $\varepsilon=\dfrac{1}{A}$
Pour tout réel $A >0$, il existe $\varepsilon >0$ tel que $f(x) > A$ pour tout $x\in ]2;2+\varepsilon[$.
En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
$\forall A>0$, $\exists \varepsilon> 0$ tel que $f(x)> A$ $\forall x\in ]2;2+\varepsilon[$(même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)
On a alors la droite d'équation $x=2$ pour asymptote à la courbe représentative de $f$. - Interpréter graphiquement la limite ci-dessus
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe.
- Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$On veut montrer que pour tout réel $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $x> X_0 $ on ait $f(x)> A$
Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ devient très grand
ou bien encore qu'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est très grandPour tout $A >0$
$\dfrac{1}{x-2} >A \Longleftrightarrow 1< A(x-2) \Longleftrightarrow 1+2A$ \dfrac{1+2A}{A}=\dfrac{1}{A}+A$
En prenant $x_0=\dfrac{1}{A}+A$, pour tout réel $A >0$, Il existe $x_0$ tel que $f(x)> A$ pour tout $x > x_0$
En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
$\forall A>0$, $\exists x_0 $ tel que $f(x)> A$ $\forall x> x_0$(même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré) - Interpréter graphiquement la limite ci-dessus
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
donc la droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) est asymptote à la courbe en $+\infty$.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.