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$ABCDS$ est une pyramide à base carrée de sommet $S$ et $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[SA]$ et $[SB]$.
$K$ est le point défini par la relation $\overrightarrow{SK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SC}$.
  1. Faire ne figure.

    produit d'un vecteur par un réel


    Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
    Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
    1. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
    2. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
    3. $||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$

    Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$
  2. Montrer que les droites $(IJ)$ et $(CD)$ sont parallèles.

    vecteurs colinéaires


    Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
    On peut montrer que les vecteurs directeurs sont colinéaires
    Dans le triangle $ABCS$ on a $I$ milieu de $[SA]$ et $J$ milieu de $[SB]$ donc $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}$
    donc $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}$
    donc les vecteurs directeurs des droites $(IJ)$ et $(CD)$ sont colinéaires
  3. Montrer que les droites $(JK)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
    $\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{JS}+\overrightarrow{SK}$
    donc $\overrightarrow{JK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BS}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{SC}$
    et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SC}$
    Il n'existe donc pas de réel $k$ tel que $\overrightarrow{JK}=k\overrightarrow{BC}$

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