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Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations
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- $3x^4-5x^2+2=0$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.On pose $X=x^2$
On a alors $x^4=(x^2)^2=X^2$ et $x^2=X$ à remplacer dans l'équation
Recherche des solutions $X$ de l'équation de degré 2 ainsi obtenue
Déterminer ensuite $x$ sachant que l'on a $X^2=x$$3x^4-5x^2+2=0$
On pose $X=x^2$ donc $X\in[0;+\infty[$.
Il faut alors résoudre l'équation $3X^2-5X+2=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 3\times 2=1$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{1}}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
et $X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{1}}{6}=\dfrac{6}{6}=1$
bien différencier $X$ et $x$, on cherche à déterminer ensuite la valeur de $x$
Recherche des valeurs de $x$
$x^2=X_1=\dfrac{2}{3} \Longleftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ou bien $x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
ou bien
$x^2=X_2=1 \Longleftrightarrow x=1$ ou bien $x=-1$
L'équation admet quatre solutions $x_1=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et $x_2=-1$ et $x_3=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et $x_4=1$
On pouvait ici éviter de calculer $\Delta$ en remarquant que la somme des coefficients $a$, $b$ et $c$ du polynôme est nulle
et donc que $X_1=1$ est une solution de $3X^2-5X+2=0$ et en utilisant le produit des racines $X_1\times X_2=\dfrac{c}{a}$ - $2x^4-3x^2-2=0$
On pose $X=x^2$
On a alors $x^4=(x^2)^2=X^2$ et $x^2=X$ à remplacer dans l'équation$2x^4-3x^2-2=0$
On pose $X=x^2$ donc $X\in[0;+\infty[$.
Il faut alors résoudre l'équation $2X^2-3X-2=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 2\times (-2)=25$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{25}}{4}=\dfrac{-1}{2}$
et
$X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}==\dfrac{3+\sqrt{25}}{4}=2$
Recherche des valeurs de $x$
$x^2=X_1=\dfrac{-1}{2}$
Cette équation n'admet aucune solution.
ou bien
$x^2=X_2=2 \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou bien $x=-\sqrt{2}$
L'équation admet deux solutions $x_1=-\sqrt{2}$ et $x_2=\sqrt{2}$
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