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  1. spécialité maths première
  2. chapitre 1 Second degré
  3. exercice corrigé nº612

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On veut résoudre l'équation $\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}=0$
  1. Déterminer l'ensemble de résolution.

    Aide

    Le dénominateur doit être différent de $0$

    Solution

    Il faut $x+2\neq 0$ et $2x-4\neq 0$ soit $x\neq -2$ et $x\neq 2$

    On résout donc cette équation sur $\mathbb{R}\setminus \left\lbrace -2;2 \right\rbrace $ (ensemble des réels différents de $-2$ et différents de 2)
  2. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $D$on a:
    $\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}=\dfrac{7x^2-15x-2}{(x+2)(2x-4)}$

    Aide

    Réduire ensuite au même dénominateur (multiplier le premier terme par $2x-4$ et le second par $x+2$)

    Solution

    Pour tut réel $x\in D$, on a :
    $\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}$
    $= \dfrac{(3x-1)(2x-4)}{(x+2)(2x-4)}+\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(2x-4)}$ (On réduit au même dénominateur)
    $= \dfrac{(3x-1)(2x-4)+(x+2)(x-3)}{(x+2)(2x-4)}$
    $= \dfrac{6x^2-12x-2x+4+x^2+2x-3x-6}{(x+2)(2x-4)}$
    $= \dfrac{7x^2-15x-2}{(x+2)(2x-4)}$
  3. Résoudre alors l'équation

    Rappel de cours

    Racines

    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

    Aide

    On a $\dfrac{a}{b}=0 $ si et seulement si $a=0$ ($b\neq 0$)

    Solution

    $\dfrac{3x-1}{x+2}+\dfrac{x-3}{2x-4}=0$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{7x^2-15x-2}{(x+2)(2x-4)}=0$
    $\Longleftrightarrow 7x^2-15x-2=0$ ($\dfrac{a}{b}=0 $ si et seulement si $a=0$ avec $b\neq 0$)
    $\Delta=b^2-4ac=(-15)^2-4\times 7\times (-2)=225+56=281$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines: $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15-\sqrt{281}}{14}$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15+\sqrt{281}}{14}$

    Les deux solutions obtenues appartiennent à l'ensemble de définition.
    L'équation admet deux solutions $x_1=\dfrac{15-\sqrt{281}}{14}$ et $x_2=\dfrac{15+\sqrt{281}}{14}$

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