$-1\leq cos(x)\leq 1$ pour tout réel $x$.
donc $-1\leq cos(n)\leq 1$
En ajoutant $n$ à chaque membre de l'inégalité, on a $n-1\leq n+cos(n)\leq n+1$
donc $n-1\leq n+cos(n)\leq n+1$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n+3=+\infty$
donc la limite du quotient est indéterminée.
Pour tout entier $n\geq 1$ on a :
$\dfrac{n-1}{n+3}=\dfrac{n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}=\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{3}{n}}$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1$
et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{3}{n}=1$
donc par quotient des deux limites $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n-1}{n+3}=1$
De même:
$\dfrac{n+1}{n+3}=\dfrac{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{3}{n}}$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$
et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{3}{n}=1$

donc par quotient des deux limites $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{n+3}=1$

$n-1\leq n+cos(n)\leq n+1$
donc $\dfrac{n-1}{n+3}\leq \dfrac{n+cos(n)}{n+3}\leq \dfrac{n+1}{n+3}$
donc $\dfrac{n-1}{n+3}\leq u_n \leq \dfrac{n+1}{n+3}$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n-1}{n+3}=\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{n+3}=1$
donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=1$