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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n>0$ par la relation
$u_n=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}}$.
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- Montrer que pour tout entier naturel $k$ de $[1;n]$ avec$n\geq 1$, on a $\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
- En déduire que $u_n\geq \sqrt{n}$ pour tout entier naturel $n\geq 1$.
Pour chaque terme de la somme on a $\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et il y a $n$ termes dans la somme$\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$
donc $1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
Il y a $n $ termes dans cette somme (de $1$ à $n$)
donc $\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=n\times \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{n\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n}}=\dfrac{n\sqrt{n}}{n}=\sqrt{n}$
- En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
Limites par comparaison
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$
Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$On peut utiliser la limite de $\sqrt{n}$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
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