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- Décomposer $7560$ et $3300$ en produit de facteurs premiers.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier naturel peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.
Cette décomposition est unique (si on ne tient pas compte de l'ordre des facteurs).
Méthode:
-On divise le nombre par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
-On divise par $3$ le nombre obtenu après les divisions par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
- et ainsi de suite avec les nombres premiers pris dans l'ordre croissant.Décomposition de $756$:
Décomposition de $3300$:
- En déduire l'écriture de $\sqrt{3300}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels.
Calculs avec des racines carrées
$a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs.
- Produit
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
- Quotient
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (avec $b\neq 0$)
- Carré
$\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}=a$On peut utiliser les facteurs ayant une puissance paire (par exemple $\sqrt{2^2}=2$)$3300=2^2\times 3\times 5^2\times 11$
donc $\sqrt{3300}=\sqrt{2^2\times 3\times 5^2\times 11}$
$~~~~~~=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{5^2}\times \sqrt{11}$
$~~~~~~=2\times \sqrt{3}\times 5\times \sqrt{11}$
$~~~~~~=10 sqrt{33}$
- Écrire la fraction $\dfrac{756}{3300}$ sous forme irréductible
Calculs avec les puissances
$a$ et $b$ sont deux nombres réels et $n$ et $p$ deux entiers relatifs.
- Produit
$a^na^p=a^{n+p}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^3\times 2^5=2^{3+5}=2^8$
- Quotient
$\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}$
- Inverse
$\dfrac{1}{a^p}=a^{-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$
- Exposants
$\left(a^n\right)^p=a^{np}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(2^3\right)^5=2^{3\times 5}=2^{15}$Il faut utilser les deux décompositions et $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$$\dfrac{756}{3300}=\dfrac{2^2\times 3^3\times 7}{2^2\times 3\times 5^2\times 11}$
$\phantom{\dfrac{756}{3300}}=\dfrac{2^{2-2}\times 3^{3-1}\times 7}{ 5^2\times 11}$
$\phantom{\dfrac{756}{3300}}=\dfrac{2^0\times 3^2\times 7}{ 5^2\times 11}$
$\phantom{\dfrac{756}{3300}}=\dfrac{63}{ 265}$
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