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Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée.
Son matériel est constitué de 50% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée.
Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :
- $P$ : "La fiche est celle d'une paire de skis de piste" ;
- $S$ : "La fiche est celle d'un snowboard" ;
- $F$ : "La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée" ;
- $R$ : "Le matériel nécessite une réparation" et $\overline{R}$ est son évènement contraire.
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
Son matériel est constitué de 50% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée.
Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :
- $P$ : "La fiche est celle d'une paire de skis de piste" ;
- $S$ : "La fiche est celle d'un snowboard" ;
- $F$ : "La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée" ;
- $R$ : "Le matériel nécessite une réparation" et $\overline{R}$ est son évènement contraire.
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
- Traduire toutes les données de l'énoncé à laide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Traduire d'abord les données de l'énoncé avec les notations des événements et des probabilités et probabilités conditionnellesSon matériel est constitué de 50% de skis de piste donc $p(P)=0,5$.
Le reste est également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée donc $p(S)=p(F)=0,25$.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste nécessitent une réparation
donc $p_P(R)=0,5$.
Il a été constaté que les deux tiers des snowboards nécessitent une réparation
donc $p_S(R)=\dfrac{2}{3}$.
Il a été constaté que le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation
donc $p_F(R)=0,25$
On a donc:
- Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation.
Probabilité de l'événement $A\cap B$
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$L'événement la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation se note $P\cap \overline{R}$La probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation se note $p(P\cap \overline{R})$.
$p(P\cap \overline{R})=p(P)\times p_P(\overline{R})=0,5\times 0,5=0,25$
- Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation.
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Identifier tous les chemins sur l'arbre menant à $\overline{R}$$P$, $F$ et $S$ sont disjoints deux à deux et $P\cup F\cup S=\Omega$
donc $P$, $F$ et $S$ forment une partition de l'univers
D'après la formule des probabilités totales, on a:
$p(\overline{R})=p(P\cap \overline{R})+p(S\cap \overline{R})+p(F\cap \overline{R})$
$\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{1}{4}+p(S)\times p_S( \overline{R})+p(F)\times p_F(\overline{R})$
$\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{4}$
$\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{16}$
$\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{12}{48}+\dfrac{4}{48}+\dfrac{9}{48}$
$\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{25}{48}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
calculs de probabilités
- calcul de probabilités avec un arbre
- probabilités conditionnelles
- probabilités totales
infos: | 10-15mn |
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