MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Droites et Cercles

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Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on donne la droite $(d)$ d'équation $ax+by+c=0$ et le point $A(x_A;y_A)$.

Exprimer les coordonnées d'un vecteur normal à $(d)$ en fonction de $a$ et $b$.

Solution
$(d')$ est perpendiculaire à $(d)$ et a pour équation $a'x+b'y+c'=0$.
Exprimer $a'$ et $b'$ en fonction de $a$ et $b$.

Aide

Un vecteur normal à $(d)$ est un vecteur directeur de $(d')$

Solution

$ \overrightarrow{n}(a;b)$ est un vecteur normal à la droite $(d)$ donc un vecteur directeur de $(d')$.
$\overrightarrow{n}(-b';a')$ est un vecteur directeur de $(d')$
donc $-b'=a$ soit $b'=-a$ et $a'=b$.
Exprimer $c'$ en fonction de $a$, $b$, $x_A$ et $y_A$.

Aide

Le point $A$ appartient à $(d')$ donc $a'x_A+b'y_A+c'=0$

Solution

$b'=-a$ et $a'=b$
donc une équation de $(d')$ est de la forme $bx-ay+c'=0$
$A\in (d') \Longleftrightarrow bx_A-ay_A+c'=0$
$\phantom{A\in (d')} \Longleftrightarrow c'=-bx_A+ay_A$
On donne le programme ci-dessous en Python pour afficher une équation de $(d')$ connaissant $(d)$ et $A$.

Compléter cet algorithme en utilisant les questions précédentes.

Aide

On a $a'=b$, $b'=-a$ et $c'=-bx_A+ay_A$

Solution

On a $a'=b$, $b'=-a$ et $c'=-bx_A+ay_A$ donc:

Exemple:

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Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire

infos: | mn |

Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.

nº917 Droites perpendiculaires
| 5-8mn |

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