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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(3;1)$, $B(11;5)$ et $C(6;10)$.
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- Faire une figure
figure
- Déterminer une équation de la hauteur $(d)$ issue de $A$ dans $ABC$ puis la tracer.
On pourra faire la figure à l'aide de GEOGEBRA pour contrôler le résultat
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.La hauteur $(d)$ issue de $A$ dans $ABC$ est la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$
$M(x;y)$ appartient à cette hauteur si et seulement si $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0$
On peut aussi utiliser un vecteur normal à $(BC)$$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BC}}=x_C-x_B=6-11=-5\\ y_{ \overrightarrow{BC}}=y_C-y_B=10-5=5 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{BC}(-5;5)$
Soit $M(x;y)$ un point de $(d)$, on a alors $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0$
$\overrightarrow{AM}(x-3;y-1)$
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0 \Longleftrightarrow (x-3)\times (-5)+(y-5)\times 5=0$
$\phantom{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0} \Longleftrightarrow (x-3)\times (-5)+(y-1)\times 5=0$
$\phantom{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0} \Longleftrightarrow -5x+15+5y-5=0$
$\phantom{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0} \Longleftrightarrow -5x+5y+10=0$
$\phantom{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0} \Longleftrightarrow -x+y+2=0$ (en divisant les deux membres par $5$)
Autre méthode:
$ \overrightarrow{BC}(-5;5)$ et le vecteur $ \overrightarrow{n}(5;5)$ est un vecteur normal à la droite $(BC)$. ($ \overrightarrow{n}. \overrightarrow{BC}=x_{ \overrightarrow{n}}x_{ \overrightarrow{BC}}+y_{ \overrightarrow{n}}y_{ \overrightarrow{BC}}=5\times (-5)+5\times 5=0$)
$ \overrightarrow{n}(5;5)$ est donc un vecteur directeur de $(d)$
$\overrightarrow{n}(-b;a)$ donc $-b=5$ soit $b=-5$ et $a=5$
donc $(d)$ admet donc une équation cartésienne de la forme $5x-5y+c=0$
$A(3;1)\in (d) \Longleftrightarrow 5x_A-5y_A+c=0$
$\phantom{A(3;1)\in (d)} \Longleftrightarrow 5\times 3-5\times 1+c=0$
$\phantom{A(3;1)\in (d)} \Longleftrightarrow 10+c=0$
$\phantom{A(3;1)\in (d)} \Longleftrightarrow c=-10$
En divisant les deux membres par $5$, on a aussi:
GEOGEBRA donne $x-y=2$ pour équation de $(d)$
or $x-y=2 \Longleftrightarrow x-y-2=0 \Longleftrightarrow -x+y+2=0$ - Déterminer une équation de la hauteur $(d')$ issue de $C$ dans $ABC$ puis la tracer.
$(d')$ passe par $C$ et est perpendiculaire à $(AB)$$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=11-3=8\\ y_{ \overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=5-1=4\\ \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{AB}(8;4)$
Soit $M(x;y)$ un point de $(d')$, on a alors $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}=0$
$\overrightarrow{CM}(x-6;y-10)$
$\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}=0 \Longleftrightarrow (x-6)\times 8+(y-10)\times 4=0$
$\phantom{\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}=0} \Longleftrightarrow 8x-48+4y-40=0$
$\phantom{\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}=0} \Longleftrightarrow 8x+4y-88=0$
$\phantom{\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AB}=0} \Longleftrightarrow 2x+y-22=0$ (en divisant les deux membres par $4$)
Autre méthode:
$ \overrightarrow{AB}(8;4)$ donc le vecteur $ \overrightarrow{n'}(-4;8)$ est un vecteur normal à la droite $(AB)$.
On a bien $ \overrightarrow{n'}. \overrightarrow{AB}=x_{ \overrightarrow{n'}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{n'}}y_{ \overrightarrow{AB}}=-4\times 8+8\times 4=0$
$ \overrightarrow{n'}(-4;8)$ est donc un vecteur directeur de $(d')$
$ \overrightarrow{n'}(-b';a')$ donc $-b'=-4$ soit $b'=4$ et $a'=8$
donc $(d')$ admet donc une équation cartésienne de la forme $8x+4y+c=0$
$C(6;10)\in (d') \Longleftrightarrow 8x_C+4y_C+c=0$
$\phantom{C(6;10)\in (d')} \Longleftrightarrow 8\times 6+4\times 10+c=0$
$\phantom{C(6;10)\in (d')} \Longleftrightarrow 88+c=0$
$\phantom{C(6;10)\in (d')} \Longleftrightarrow c=-88$
En divisant les deux membres par $4$, on a aussi:
GEOGEBRA donne $-2x-y=-22$ pour équation de $(d')$
or $-2x-y=-22 \Longleftrightarrow 2x+y-22=0 $ - En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$
Le point $H$ est le point d'intersection des hauteurs du triangle
Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites définies par leurs équations cartésiennes, il faut résoudre le système d'équations formé avec ces deux équations.$\phantom{\Longleftrightarrow}\begin{cases} x-y-2=0 \\ -2x-y+22=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=x-2 \\ 2x+(x-2)-22=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=x-2 \\ 2x+x-2-22=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=x-2 \\ 3x=24 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=x-2 \\ x=\dfrac{24}{3} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=6 \\ x=8 \end{cases}$
- En utilisant les coordonnées des points, vérifier que l'on a bien $(BH)$ perpendiculaire à $(AB)$.
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Vérifier que $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BH}}=x_H-x_B=8-11=-3\\ y_{ \overrightarrow{BH}}=y_H-y_B=6-5=1\\ \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{BH}(-3;1)$
De même $\overrightarrow{AC}(3;9)$
$\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=-3\times 3+1\times 9=-9+9=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Droites perpendiculaires
- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire
infos: | mn |
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