On a $(x-2)^2=x^2-4x+4$ soit $x^2-4x=(x-2)^2-4$
et $(y-3)^2=y^2-6y+9$ soit $y^2-6y=(y-3)^2-9$
$x^2-4x+y^2-6y+1=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2-4+(y-3)^2-9+1=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2-12=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=12$
cette équation définit le cercle de centre $C(2;3)$ et rayon $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

On a $(x+4)^2=x^2+8x+16$ soit $x^2+8x=(x+4)^2-16$
et $(y-1)^2=y^2-2y+1$ soit $y^2-2y=(y-1)^2-1$
$x^2+8x+y^2-2y+4=0$
$\Longleftrightarrow (x+4)^2-16+(y-1)^2-1+1=0$
$\Longleftrightarrow (x+4)^2+(y-1)^2=16$
$\Longleftrightarrow (x-(4))^2+(y-1)^2=16$
cette équation définit le cercle de centre $C(-4;1)$ et rayon $\sqrt{16}=4$

On a $(x+1)^2=x^2+2x+1$ soit $x^2+2x=(x+1)^2-1$
et $(y+5)^2=y^2+10y+25$ soit $y^2+10y=(y+5)^2-25$
$x^2+2x+y^2+10y+50=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2-1+(y+5)^2-25+50=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2+(y+5)^2+24=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2+(y+5)^2=-24$
Le membre de droite doit correspondre à $r^2$ donc doit être positif
cette équation ne définit pas un cercle.