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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
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- On donne la droite $(d)$ d'équation $2x-3y+1=0$.
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $ \overrightarrow{u}$ de $(d)$ puis tracer $(d)$.Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Pour tracer $(d)$ on peut chercher l'équation réduite de $(d)$ (forme $y=ax+b$) en isolant $y$ et en déterminant ensuite les coordonnées de deux points de la droite.
On peut aussi chercher $y$ lorsque $x=0$ puis utiliser le vecteur $ \overrightarrow{u}$.Le vecteur $ \overrightarrow{u}(-b;a)$ avec $a=2$ (coefficient de $x$) et $b=-3$ (coefficient de $y$) est un vecteur directeur de $(d)$
si $x=0$, on a : $2\times 0-3y+1=0 \Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{3}$
- Déterminer les coordonnées d'un vecteur $ \overrightarrow{v}$ normal à la droite $(d)$.
Le vecteur $ \overrightarrow{v}(a;b)$ avec $a=2$ (coefficient de $x$) et $b=-3$ (coefficient de $y$) est un vecteur normal à la droite $(d)$
Tout vecteur colinéaire à $ \overrightarrow{v}$ est un vecteur normal à $(d)$.
$ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=x_{ \overrightarrow{u}}x_{ \overrightarrow{v}}+y_{ \overrightarrow{u}}y_{ \overrightarrow{v}}=-b\times a+a\times b=-ab+ab=0$ - En déduire une équation cartésienne de $(d')$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $I(1;2)$
Si $ \overrightarrow{v}(2;-3)$ est un vecteur directeur de $(d')$ alors $-x_{ \overrightarrow{v}}$ est le coefficient de $y$ et $y_{ \overrightarrow{v}}$ est le coefficient de $x$ dans une équation cartésienne de $(d')$$ \overrightarrow{v}(2;-3)$ est un vecteur normal à la droite $(d)$ donc un vecteur directeur de $(d')$
donc $(d')$ admet une équation de cartésienne de la forme $-3x-2y+c=0$
$I(1;2) \in (d')\Longleftrightarrow -3x_I-2y_I+c=0$
$\phantom{I(1;2) \in (d')}\Longleftrightarrow -3-4+c=0$
$\phantom{I(1;2) \in (d')}\Longleftrightarrow c=7$
$3x+2y-7=0$ ou bien $-1,5x-y+3,5=0$ sont aussi des équation cartésiennes de $(d')$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Droites perpendiculaires
- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire
infos: | mn |
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