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- Développer $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2$
Carré scalaire
$\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$$(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2=(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$
$\phantom{(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2}=\overrightarrow{u}^2-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}^2$
$\phantom{(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2}=\overrightarrow{u}^2+\overrightarrow{v}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ (car $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$)
- En déduire la propriété du cours $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2}{2}$.
Carré scalaire
$\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$Il faut isoler $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ dans l'égalité de la question 1$(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2=\overrightarrow{u}^2+\overrightarrow{v}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}^2+\overrightarrow{v}^2-(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\overrightarrow{u}^2+\overrightarrow{v}^2-(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2}{2}$
or $\overrightarrow{u}^2=||\overrightarrow{u}||^2$ , $\overrightarrow{v}^2=||\overrightarrow{u}||^2$ et $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2=||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2$
- En déduire que dans un triangle $ABC$ on a $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
On pose $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$On pose $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$ (avec la relation de Chasles)
donc $||\overrightarrow{u}||^2 =AB^2$, $||\overrightarrow{v}||^2 =AC^2$
et $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 =CB^2=BC^2$
donc en utilisant le résultat de la question 2, on a:
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