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- $ABC$ est un triangle tel que $AB=8$cm et $AC=5$cm et $BC=7$cm
Calculer $\widehat{BAC}$Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et $BC$
Exprimer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en fonction de $cos(\widehat{BAC})$
puis écrire une équation d'inconnue $cos(\widehat{BAC})$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=8\times 5 \times cos(\widehat{BAC})$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=40 \times cos(\widehat{BAC})$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{8^2+5^2-7^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{40}{2}$
Il faut donc résoudre l'équation $40cos(\widehat{BAC})=20$
$\phantom{\Longleftrightarrow} cos(\widehat{BAC})=\dfrac{20}{40}$
$\Longleftrightarrow cos(\widehat{BAC})=\dfrac{1}{2}$
$cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$
- $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=2\sqrt{3\sqrt{2}+10}$cm et $BC=2$cm
Calculer $\widehat{ABC}$Calculer $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et $BC$
Exprimer $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ en fonction de $cos(\widehat{ABC})$
puis écrire une équation d'inconnue $cos(\widehat{ABC})$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times cos(\widehat{ABC})$
$\phantom{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=6\times 2\times cos(\widehat{ABC})$
$\phantom{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=12 \times cos(\widehat{ABC})$
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{6^2+2^2-(2\sqrt{3\sqrt{2}+10})^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{36+4-4\times (3\sqrt{2}+10)}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{40-12\sqrt{2}-40}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-6\sqrt{2}$
Il faut donc résoudre l'équation $12cos(\widehat{BAC})=-6\sqrt{2}$
$\phantom{\Longleftrightarrow} cos(\widehat{BAC})=\dfrac{-6\sqrt{2}}{12}$
$\Longleftrightarrow cos(\widehat{BAC})=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
$cos(\dfrac{3\pi}{4})=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs de longueurs et d'angles dans un triangle
- calcul d'une longueur
- calcul d'un angle
infos: | 10-15mn |
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