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On donne un repère orthonormé, on donne $A(2;-1)$, $B(3;5)$ et $C(1;-4)$.
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- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-2=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=5-(-1)=6 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AB}(1;6)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=1-2=-1\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-4-(-1)=-3 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AC}(-1;-3)$ - Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.
En utilisant ce résultat, déterminer si l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu ou obtus dans le triangle $ABC$.Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=1\times (-1)+6\times (-3)$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-1-18$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-19$
Le produit scalaire étant négatif alors l'angle $\widehat{BAC}$ est obtus. - Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}$.
Il faut calculer les coordonnées des deux vecteurs$\overrightarrow{AB}(1;6)$ donc $\overrightarrow{BA}(-1;-6)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{CB}}=x_B-x_C=3-1=2\\ y_{\overrightarrow{CB}}=y_B-y_C=5-(-4)=9 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{CB}(2;9)$
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}=(-1)\times 2+(6)\times 9=-2-54=-56$
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