MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Produit scalaire

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$ABCD$ est un hexagone régulier de centre $O$ tel que $OA=4$cm (voir figure ci-dessous).

Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}$.

Rappel de cours

Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$

Aide

Les triangles OAB, OBC,....sont équilatéraux

Solution

figure

$\widehat{BOA}=\dfrac{\pi}{3}$
$ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB}||\times cos( \widehat{BOA})$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=OA\times OB \times cos(\dfrac{\pi}{3})$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=16 \times \dfrac{1}{2}$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=8$
Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}$.

Solution

figure

$\widehat{DOA}=\pi$
$ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OD}||\times cos( \widehat{DOA})$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=OA\times OD \times cos(\pi)$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=16 \times (-1)$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=-16$
Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}$.

Rappel de cours

Valeurs remarquables du cos et du sin

Angles associés

Solution

figure

$\widehat{AOE}=\dfrac{2\pi}{3}$
or $\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
donc sur le cercle trigonométrique, les points associés aux réels $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ sont symétriques par rapport à l'ordonnée du repère
donc $ cos(\dfrac{2\pi}{3})= -cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}$
$ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OE}||\times cos( \widehat{AOE})$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}}=OA\times OE \times cos(\dfrac{2\pi}{3})$
$cos (\dfrac{-2\pi}{3})=cos(\dfrac{2\pi}{3})=-cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}$
donc $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}=16 \times \dfrac{-1}{2}=-8$
Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{FB}$.

Rappel de cours

Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Aide

$OBAF$ est un losange donc les diagonales $(OA)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires

Solution

figure

$OA=OB=OF=FA=AB$ donc $OBAF$ est un losange
donc les diagonales $(OA)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires
donc $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{FB}=0$