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- Résoudre dans $\mathbb{R}$ $2x^2-3x+1=0$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.$\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 1=1$
$\Delta >0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-1}{4}=\dfrac{1}{2}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+1}{4}=1$
On peut aussi remarquer que $x_1=1$ est une racine de $2x^2-3x+1$
Le produit des racines $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$
donc $x_2=\dfrac{1}{2}$ - En déduire les solutions de l'équation $2sin^2(x)-3sin(x)+1=0$ sur $]-\pi;\pi]$.
Pour tout réel $x$, on pose $sin(x)=X$$2sin^2(x)-3sin(x)+1=0$
On pose $X=sin(x)$ pour tout réel $x$
Il faut donc résoudre l'équation $2X^2-3X+1=0$
donc $X=1$ ou $X=\dfrac{1}{2}$
Il faut donc résoudre $sin(x)=1$ et $sin(x)=\dfrac{1}{2}$ sur $]-\pi;\pi]$.
$sin(x)=1\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}$
$sin(x)=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ (voir figure)
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