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La fonction $f$ est définie sur $D$ par $f(x)=u(x)\times v(x)$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $D$.
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- Pour tout réel $x\in D$ et tout réel $h$ tel que $x+h\in D$, montrer que le taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$ est $T_h=u(x+h)\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$.
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.$f(x+h)=u(x+h)\times v(x+h)$ et $f(x)=u(x)\times v(x)$On a $f=uv$
donc $f(x+h)=u(x+h)\times v(x+h)$ et $f(x)=u(x)\times v(x)$
$T_h=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$
$~~~=\dfrac{u{x+h}v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$
En reprenant l'expression proposée, on a:
$u(x+h)\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$
$=\dfrac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)}{h}+\dfrac{v(x)u(x+h)-v(x)u(x)}{h}$
$=\dfrac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+v(x)u(x+h)-v(x)u(x)}{h}$
$=\dfrac{u(x+h)v(x+h)-v(x)u(x)}{h}$ (on retrouve $T_h$)
- En déduire $f$ est dérivable pour tout réel $x\in D$ et donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$ et $v'(x)$.
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
$u$ est dérivable sur $D$ donc $\displaystyle \lim_{h \rightarrow +0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$ existe et vaut $u'(x)$$u$ est dérivable sur $D$ donc $\displaystyle \lim_{h \rightarrow +0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$ existe et vaut $u'(x)$
$v$ est dérivable sur $D$ donc $\displaystyle \lim_{h \rightarrow +0}\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$ existe et vaut $v'(x)$
$T_h=u(x+h)\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$
donc lorsque $h\longrightarrow 0$ on a $T_h\longrightarrow u(x+h)\times v'(x)+v(x)\times u'(x)$
avec $u(x+h)\longrightarrow u(x)$ quand $h\longrightarrow 0$
donc $T_h \longrightarrow u(x)v'(x)+u'(x)v(x)$
On a $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}T_h=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)$
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