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La fonction $f$ est définie sur $[-2;3]$ par $f(x)=-x^3+3x+3$.
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- Calculer $f(-2)$, $f(-1)$ et $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$
Il faut remplacer $x$ par $-2$ dans l'expression de $f$ pour calculer $f(-2)$.
avec les signes $-$$f(-2)=-(-2)^3+3\times (-2)+3=-(-8)-6+3=8-6+3=5$
$f(-1)=-(-1)^3+3\times (-1)+3=-(-1)-3+3=1$
$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\left(\dfrac{3}{2}\right)^3+3\times \dfrac{3}{2}+3$
$\phantom{f\left(\dfrac{3}{2}\right)}=-\dfrac{27}{8}+\dfrac{9}{2}+3~~~~~~$ ( $\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{3^3}{2^3}$
$\phantom{f\left(\dfrac{3}{2}\right)}=-\dfrac{27}{8}+\dfrac{36}{8}+\dfrac{24}{8}$
$\phantom{f\left(\dfrac{3}{2}\right)}=\dfrac{33}{8}$
- Montrer que 2 est un antécédent de 1 par $f$.
- On donne ci-dessous sa représentation graphique.
Vérifier que les réponses données aux questions 1 et 2 sont cohérentes avec les résultats obtenus graphiquement.Il faut déterminer les ordonnées des points de la courbe dont les abscisses sont $-2$, $-1$ et $\dfrac{3}{2}$ pour contrôler le résultat de la question 1
Il faut vérifier que le point de coordonnées $(2;1)$ appartient bien à la courbe pour la question 2Pour contrôler $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$, on peut en donner la valeur décimale.
$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{33}{8}=4,125\approx 4,1$
- Déterminer graphiquement le nombre d'antécédents de 3 par $f$ et en donner une valeur approchée.
- Retrouver la valeur exacte de ces antécédents par le calcul.
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
On peut essayer de factoriser...On veut $f(x)=3$ donc il faut résoudre l'équation $-x^3+3x+3=3$
$-x^3+3x+3=3 \Longleftrightarrow -x^3+3x=0$
$\phantom{-x^3+3x+3=3} \Longleftrightarrow x(-x^2+3)=0$
$\phantom{-x^3+3x+3=3} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x^2=3$ (produit de facteurs nuls)
$\phantom{-x^3+3x+3=3} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$
On retrouve les résultats obtenus graphiquement puisque $\sqrt{3}\approx 1,7$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Déterminer graphiquement ou par le calcul images et antécédents
- déterminer l'image ou les antécédents d'un nombre à partir du graphique (courbe donnée)
- déterminer l'image ou les antécédents d'un nombre par le calcul (fonction donnée)
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