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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=|x-3|$.
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- Montrer que $f$ est dérivable en $x_0=-2$ et calculer $f'(-2)$.
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
Calculer $T_{h}=\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre $-$2 et $-2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
Rappel $|x|=-x$ si $x < 0$
Pour déterminer la limite de $T_{h}$, quand $h\longrightarrow 0$, on peut considérer $h$ proche de 0 et donc que $-2+h<0$ pour exprimer $T_{h}$ sans valeur absolue
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclureCalcul du taux d'accroissement de $f$ entre $-2$ et $-2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
$T_{h}=\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{-2+h-(-2)}$
$T_{h}=\dfrac{|-2+h-3|-|-2-3|}{h}$
$T_{h}=\dfrac{|-5+h|-|-5|}{h}$
Quand $h$ est proche de 0, on a alors $-5+h<0$ et donc $|-5+h|=-(-5+h)=5-h$ et $|-5|=5$
donc $T_{h}=\dfrac{5-h-5}{h}$
donc $T_{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$
Quand $h \longrightarrow 0$ alors $T_{h}\longrightarrow -1$
Avec les notations des limites, on peut écrire:
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=-1$
- Montrer que $f$ est dérivable en $x_1=5$ et calculer $f'(5)$.
Calcul du taux d'accroissement de $f$ entre $5$ et $5+h$ pour tout réel $h\neq 0$
$T_{h}=\dfrac{f(5+h)-f(52)}{5+h-5}$
$T_{h}=\dfrac{|5+h-3|-|5-3|}{h}$
$T_{h}=\dfrac{|2+h|-|2|}{h}$
$T_{h}=\dfrac{|2+h|-2}{h}$
Quand $h$ est proche de 0, on a alors $2+h>0$ et donc $|2+h|=2+h$
donc $T_{h}=\dfrac{2+h-2}{h}$
donc $T_{h}=\dfrac{h}{h}=1$
Quand $h \longrightarrow 0$ alors $T_{h}\longrightarrow 1$
Avec les notations des limites, on peut écrire:
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }\dfrac{f(5+h)-f(5)}{h}=1$
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