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On dispose de 3452 boîtes des conserves pour construire une pyramide.
A chaque étage de la pyramide, on utilise une boîte de conserve de plus qu'à l'étage situé juste au-dessus. (voir figure ci-dessous)
Combien d'étages aura-t-on fait en utilisant le maximum de boîtes de conserves parmi les 3452 disponibles?
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
$S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$
Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$
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A chaque étage de la pyramide, on utilise une boîte de conserve de plus qu'à l'étage situé juste au-dessus. (voir figure ci-dessous)
Combien d'étages aura-t-on fait en utilisant le maximum de boîtes de conserves parmi les 3452 disponibles?
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
$S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$
Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$
On note $N$ le nombre d'étages construits.
On peut noter $u_n$ le nombre de boîtes utilisées à l'étage $n$ ($n\leq N$)
On veut que la somme des boîtes utilisées pour les étages 1, 2, 3, 4, ......$N$ soit inférieure ou égale à 3452.
On peut noter $u_n$ le nombre de boîtes utilisées à l'étage $n$ ($n\leq N$)
On veut que la somme des boîtes utilisées pour les étages 1, 2, 3, 4, ......$N$ soit inférieure ou égale à 3452.
On pose $u_n$ le nombre de boîtes utilisées à l'étage \no $n$ en numérotant les étages de haut en bas.
On a donc $u_1=0$, $u_2=2=u_1+1$, $u_3=3=u_2+1$.....
A chaque étage de la pyramide, on utilise une boîte de conserve de plus qu'à l'étage situé juste au-dessus
donc $u_{n+1}=u_n+1$ et $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_1$ et raison $r=1$
donc $u_n=u_1+(n-1)r=1+(n-1)\times 1=n$
On utilise donc pour $n$ étages, $S_n=u_1+u_2+u_3+......+u_n$ boîtes.
$S_n=n\times \dfrac{u_1+u_n}{2}=n\times \dfrac{1+n}{2}=\dfrac{n^2+n}{2}$
On dispose de 3452 boîtes donc il faut que $S_n\leq 3452$
$S_n\leq 3452$
$\Longleftrightarrow \dfrac{n^2+n}{2}\leq 3452$
$\Longleftrightarrow n^2+n\leq 6904$
$\Longleftrightarrow n^2+n-6904\leq 0$
Recherche des racines de $x^2+x-6904$
$\Delta=1^2-4\times 1\times (-6904)=27617$
$\Delta$>0
donc il y a donc deux racines: $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{27617}}{2}$
et
$x_2=\dfrac{-1+\sqrt{27617}}{2}$
Signe de $x^2+x-6904$ sur $[0;+\infty[$
$x^2+x-6904$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines donc on a:
On a donc $S_n\leq 3452$ pour $n\in[0;x_2]$
Calcul de la valeur approchée de $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{27617}}{2}\simeq 82,6$
$n$ est un entier naturel et $n\leq x_2$ donc $n \leq 82$
On pourra faire au maximum 82 étages avec $S_{82}=\dfrac{82^2+82}{2}=3403$ boîtes.
On a donc $u_1=0$, $u_2=2=u_1+1$, $u_3=3=u_2+1$.....
A chaque étage de la pyramide, on utilise une boîte de conserve de plus qu'à l'étage situé juste au-dessus
donc $u_{n+1}=u_n+1$ et $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_1$ et raison $r=1$
donc $u_n=u_1+(n-1)r=1+(n-1)\times 1=n$
On utilise donc pour $n$ étages, $S_n=u_1+u_2+u_3+......+u_n$ boîtes.
$S_n=n\times \dfrac{u_1+u_n}{2}=n\times \dfrac{1+n}{2}=\dfrac{n^2+n}{2}$
On dispose de 3452 boîtes donc il faut que $S_n\leq 3452$
$S_n\leq 3452$
$\Longleftrightarrow \dfrac{n^2+n}{2}\leq 3452$
$\Longleftrightarrow n^2+n\leq 6904$
$\Longleftrightarrow n^2+n-6904\leq 0$
Recherche des racines de $x^2+x-6904$
$\Delta=1^2-4\times 1\times (-6904)=27617$
$\Delta$>0
donc il y a donc deux racines: $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{27617}}{2}$
et
$x_2=\dfrac{-1+\sqrt{27617}}{2}$
Signe de $x^2+x-6904$ sur $[0;+\infty[$
$x^2+x-6904$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines donc on a:
On a donc $S_n\leq 3452$ pour $n\in[0;x_2]$
Calcul de la valeur approchée de $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{27617}}{2}\simeq 82,6$
$n$ est un entier naturel et $n\leq x_2$ donc $n \leq 82$
On pourra faire au maximum 82 étages avec $S_{82}=\dfrac{82^2+82}{2}=3403$ boîtes.
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