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Un salarié d'une grande entreprise est embauché avec un salaire mensuel de 2200 euros en janvier 2013.
Chaque année, son salaire augmente de 3% et on note $s_n$ son salaire mensuel de l'année $2013+n$
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Chaque année, son salaire augmente de 3% et on note $s_n$ son salaire mensuel de l'année $2013+n$
- Déterminer $s_0$.
- Calculer le salaire mensuel de l'année 2014.
Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$$s_1$ représente le salaire mensuel de l'année $2013+1$ (on a $n=1$) et correspond à $s_0$ augmenté de 3%.En prenant $n=1$, $s_1$ représente le salaire mensuel de l'année $2013+1=2014$.
Augmenter une valeur de 3% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{3}{100}=1,03$.
donc $s_1=s_0\times 1,03=2000\times 1,03=2266$.
- Montrer que $(s_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Augmenter une valeur de t% revient à lui appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{t}{100}$
Il faut montrer que $s_{n+}=qs_n$ avec $q$ raison de la suite.$s_{n}$ est le salaire mensuel de l'année $2012+n$
$s_{n+1}$ est le salaire mensuel de l'année suivante soit $s_n$ augmenté de 3%
donc multiplié par $1+\dfrac{3}{100}=1,03$.
On a donc $s_{n+1}=s_n+\dfrac{3}{100}s_n=s_n+0,03s_n=1,03s_n$
- Exprimer alors $s_n$ en fonction de $n$.
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$$(s_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,03$ et premier terme $s_0=2200$ donc on a:
$s_n=s_0\times 1,03^n=2200\times 1,03^n$
- Déterminer alors le salaire mensuel (arrondi à l'euro) de l'année 2018.
- Montrer que la suite $(s_n)$ est croissante.
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Il faut exprimer $s_{n+1}-s_n$ en fonction de $n$ et déterminer son signe.
On peut remplacer $s_{n+1}$ par $1,03s_n$ dasn un premier temps$s_n=2200\times 1,03^n$ donc $s_{n+1}=1,03s_n$
$s_{n+1}-s_n=1,03s_n-s_n$
$\phantom{s_{n+1}-s_n}=0,03s_n$
$\phantom{s_{n+1}-s_n}=0,03\times 2200\times 1,03^n$
$\phantom{s_{n+1}-s_n}=22660\times 1,03^{n}$
$1,03^n > 0$ donc $s_{n+1}-s_n > 0$
- Avec la calculatrice, déterminer à partir de quelle année le salaire mensuel dépassera 3000 euros.
Il faut utiliser le MENU suite de la calculatrice (CASIO MENU RECUR, TI MODE puis suites et NumWorks menu suitesAvec CASIO par exemple, on utilise le MENU RECUR de la calculatrice en saisissant $a_n=2200\times 1,03^n$ en sélectionnant au préalable TYPE $a_n$ et en paramétrant dans SET START=0 et END=50 par exemple.
On peut aussi saisir $a_{n+1}=1,03a_n$ en sélectionnant au préalable TYPE $a_{n+1}$ et en paramétrant dans SET START=0 et END=50 par exemple et $a_0=2200$.
Avec la calculatrice, on a $u_{10}\approx 2957$ et $u_{11}\approx 3045$
La suite $(u_n)$ étant strictement croissante, on a $u_n \geq u_{11} > 3000 $ pour tout entier naturel $n \geq 11$
$2013+11=2024$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Suites arithmétiques et géométriques
- justifier qu'une suite est arithmétique
- calculer la raison d'une suite arithmétique
- somme des termes d'une suite arithmétique
- justifier qu'une suite est géométrique
- calculer la raison d'une suite géométrique
- somme des termes d'une suite géométrique
infos: | 15mn |
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