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- Une corde de longueur totale de 1m est fixée à ses extrémités à deux clous A et B distants de 65 cm. (figure ci-dessous)
Est-il possible de tendre la corde de manière à ce que le triangle ABC soit rectangle en C?Théorème de Pythagore
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB^2+AC^2=BC^2$Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.On peut poser $AC=x$ et $BC=y$ (en centimètres)
On a alors $x+y=100$ soit $y=100-x$On note les longueurs $AC=x$ et $BC=y$ en centimètres.
Il faut $0\leq x\leq 100$ et $0\leq y \leq 100$
La corde mesure 1m=100cm donc $x+y=100$ soit $y=100-x$
ABC triangle rectangle en C donc $AC^2+BC^2=AB^2$
donc $x^2+y^2=65^2$
En remplaçant $y$ par $100-x$, on a alors:
$x^2+(100-x)^2=65^2 \Longleftrightarrow x^2+100^2-200x+x^2-65^2=0$
$\phantom{x^2+(100-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow x^2+10000-200x+x^2-4225=0$
$\phantom{x^2+(100-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow 2x^2-200x+5775=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-200)^2-4\times 2 \times 5775=-6200$
$\Delta <0$ donc il n'y a aucune solution.
- Reprendre le problème ci-dessus avec une corde de longueur 89 cm.
Avec les notations de la question 1:
Il faut $0\leq x\leq 89$ et $0\leq y \leq 89$
La corde mesure 89cm donc $x+y=89$ soit $y=89-x$
ABC triangle rectangle en C donc $AC^2+BC^2=AB^2$
donc $x^2+y^2=65^2$
En remplaçant $y$ par $89-x$, on a alors:
$x^2+(89-x)^2=65^2 \Longleftrightarrow x^2+89^2-178x+x^2-65^2=0$
$\phantom{x^2+(89-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow x^2+7921-178x+x^2-4225=0$
$\phantom{x^2+(89-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow 2x^2-178x+3696=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-178)^2-4\times 2 \times 3696=2116$
$\Delta >0$ donc il y a deux solutions:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{178-\sqrt{2116}}{4}=33$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{178+\sqrt{2116}}{4}=56$
On a bien $0\leq x_1 \leq 89$ et $0\leq x_2 \leq 89$
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