MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Second degré

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Résoudre les inéquations suivantes:

$\dfrac{5x^2+18x+13}{x-7}\leq 0$

Rappel de cours

Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

Aide

Chercher les racines du numérateur
Construire un tableau de signes avec le numérateur et le dénominateur

Solution

Il faut $x-7\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq 7$
donc on résout sur $\mathbb{R} \setminus \lbrace{7 \rbrace}$
Recherche des racines de $5x^2+18x+13$
$\Delta=b^2-4ac=18^2-4\times 5\times 13=324-260=64$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-18-8}{10}=\dfrac{-26}{10}=\dfrac{-13}{5}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-18+8}{10}=\dfrac{-10}{10}=-1$
$x-7=0 \Longleftrightarrow x=7$
$\dfrac{5}{x-6}\leq 3x-2$

Aide

Se ramener à une inéquation semblable à celle de la question 1
passer $3x-2$ dans le membre de gauche
Réduire au même dénominateur Chercher les racines du numérateur
Construire le tableau de signes

Solution

Il faut $x-6\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq 6$
donc on résout sur $\mathbb{R} \setminus \lbrace{ 6 \rbrace}$
$\dfrac{5}{x-6}\leq 3x-2 \Longleftrightarrow \dfrac{5}{x-6} -(3x-2) \leq 0$
$\phantom{\dfrac{5}{x-6}\leq 3x-2} \Longleftrightarrow \dfrac{5}{x-6} -\dfrac{(3x-2)(x-6)}{x-6} \leq 0$
$\phantom{\dfrac{5}{x-6}\leq 3x-2} \Longleftrightarrow \dfrac{5}{x-6} -\dfrac{(3x^2-2x-18x+12)}{x-6} \leq 0$
$\phantom{\dfrac{5}{x-6}\leq 3x-2} \Longleftrightarrow \dfrac{5 -3x^2+2x+18x-12}{x-6} \leq 0$
$\phantom{\dfrac{5}{x-6}\leq 3x-2} \Longleftrightarrow \dfrac{-3x^2+20x-7}{x-6} \leq 0$
Recherche des racines de $-3x^2+20x-7$
$\Delta=b^2-4ac=20^2-4\times (-3)\times (-7)=400-64=316$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-20-\sqrt{316}}{-6}=\dfrac{20+2\sqrt{79}}{6}=\dfrac{10+\sqrt{79}}{3}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-20+\sqrt{316}}{-6}=\dfrac{20-2\sqrt{79}}{6}=\dfrac{10-\sqrt{79}}{3}$
$x-6=0 \Longleftrightarrow x=6$
On a $x_1\approx 6,3$ et $x_2 \approx 0,4$
On a $x_2<6 < x_1$.
$\dfrac{x-1}{x^2-2x}> 0$

Aide

Chercher les racines du dénominateur
Construire un tableau de signes avec le numérateur et le dénominateur

Solution

Racines de $x^2-2x$ (le coefficient $c=0$ donc on peut factoriser par $x$)
$x^2-2x=0 \Longleftrightarrow x(x-2)=0$
$\phantom{x^2-2x=0} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x-2=0$
$\phantom{x^2-2x=0} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=2$
On résout donc cette inéquation dans $\mathbb{R}\setminus \lbrace{ 0;2 \rbrace}$

On peut aussi calculer les racines de $x^2-2x$ en calculant le discriminant $\Delta=4$ (les coefficients sont $a=1$, $b=-2$ et $c=0$)