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On veut résoudre l'équation $2x^3-9x^2+11x-2=0$ (E)
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- Montrer que le réel $x=2$ est une solution de (E)
On doit calculer $2x^3-9x^2+11x-2$ pour $x=2$$2\times 2^3-9\times 2^2+11\times 2-2=16-36+22-2=0$
donc $x=2$ est solution de (E)
Une erreur de rédaction assez fréquente consiste à écrire:
$2\times 2^3-9\times 2^2+11\times 2-2=0$
$\Longleftrightarrow 16-36+22-2=0$
$\Longleftrightarrow 0=0$!!
On ne peut écrire dès le départ que $2\times 2^3-9\times 2^2+11\times 2-2=0$ puisque c'est ce que l'on veut vérifier.... - Montrer que pour tout réel $x$, (E)$\Longleftrightarrow (x-2)(2x^2-5x+1)=0$
Développer et ordonner l'expression $(x-2)(2x^2-5x+1)$ selon les puissances décroissantes de $x$$(x-2)(2x^2-5x+1)=x\times 2x^2+x\times (-5x)+x-2\times (2x^2)-2\times (-5x)-2$
$\phantom{(x-2)(2x^2-5x+1)}=x\times 2x^2+x\times (-5x)+x-2\times (2x^2)-2\times (-5x)-2$
$\phantom{(x-2)(2x^2-5x+1)}=2x^3 -5x^2+x-4x^2+10x-2$
$\phantom{(x-2)(2x^2-5x+1)}=2x^3 -9x^2+11x-2$
- Résoudre alors l'équation (E)
Produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
$a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.D'après la question précédente:
$2x^3-9x^2+11x-2=0 \Longleftrightarrow (x-2)(2x^2-5x+1)=0$
$\phantom{2x^3-9x^2+11x-2=0} \Longleftrightarrow x-2=0$ ou bien $2x^2-5x+1=0$ (un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul)
$\phantom{2x^3-9x^2+11x-2=0} \Longleftrightarrow x=2$ ou bien $2x^2-5x+1=0$
Recherche des solutions de $2x^2-5x+1=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times 1=25-8=17$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4}$
L'équation admet trois solutions $x_1=\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{17}}{4}$ et $x_3=2$
Penser à contrôler les solutions avec le MENU EQUATIONS de la calculatrice
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