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On donne la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a\neq 0$.
On suppose que le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est strictement positif et qu'il y a donc deux racines notées $x_1$ et $x_2$.
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On suppose que le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est strictement positif et qu'il y a donc deux racines notées $x_1$ et $x_2$.
- Rappeler l'expression de $x_1$ et de $x_2$ en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses. - Exprimer la somme et le produit des racines en fonction des réels $a$, $b$ et $c$.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
$x_1+x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\phantom{x_1+x_2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$\phantom{x_1+x_2}=\dfrac{-b-b}{2a}$
$\phantom{x_1+x_2}=\dfrac{-2b}{2a}$
$x_1x_2=\left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$
$\phantom{x_1x_2}=\dfrac{\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)\left(-b+\sqrt{\Delta}\right)}{4a^2}$ on multiplie les numérateurs et dénominateurs entre eux
$\phantom{x_1x_2}=\dfrac{b^2-b\sqrt{\Delta}+\sqrt{\Delta} b -\sqrt{\Delta}^2}{4a^2}$
$\phantom{x_1x_2}=\dfrac{b^2 -\Delta}{4a^2}$ or $\Delta=b^2-4ac$
donc $x_1x_2=\dfrac{b^2 -(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\dfrac{+4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$
- Application: En remarquant que $x_1=2$ est une racine de $P(x)=2x^2-500x+992$, déterminer les racines de $P$.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Cas particuliers où le discriminant n'est pas utile
- cas où $b=0$
- cas où $c=0$
- utilisation du produit des racines
infos: | 6-8mn |
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