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On donne la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a\neq 0$.
- La forme canonique de $P$ est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
Développer $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$. et retrouver l'expression de $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$. $b$ et $c$.Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut identifier les coeffecients$P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
$~~~~~=a(x^2-2x\alpha+\alpha^2)+\beta$
$~~~~~=ax^2-2a\alpha x+a\alpha^2+\beta$
On a $P(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel $x$
donc $-2a\alpha=b$ (coefficient de $x$)
donc $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ (rappel $a\neq 0$)
et $a\alpha^2+\beta=c$ donc $\beta=c-a\alpha^2=c-a\left(\dfrac{-b}{2a}\right)^2=c-a\times \dfrac{b^2}{4a^2}$
soit $\beta=c-\dfrac{b^2}{4a}$
- Soient $u$ et $v$ deux réels distincts, montrer que $P(v)-P(u)=a(v-u)(v+u-2\alpha)$.
$P(u)=a(u-\alpha)^2+\beta$
On pourra utiliser la troisième identité remarquable pour factoriser$P(v)-P(u)=a(v-\alpha)^2+\beta-\left[a(v- \alpha)^2+\beta\right]$
$\phantom{P(v)-P(u)}=a(v-\alpha)^2+\beta-a(u- \alpha)^2-\beta$
$\phantom{P(v)-P(u)}=a(v-\alpha)^2 -a(u-\alpha )^2$
$\phantom{P(v)-P(u)}=a\left[(v-\alpha)^2 -(u-\alpha )^2\right]$
$\phantom{P(v)-P(u)}=a\left[(v-\alpha+u-\alpha )(v-\alpha-u+\alpha )\right]$ (troisième identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
$\phantom{P(v)-P(u)}=a\left[(v-u-2\alpha )(v-u)\right]$
- En déduire que si $a>0$ et $v>u\geq \alpha$ alors $P(v)-P(u)>0$ et déterminer alors le sens de variation de $P$ pour $x\in [\alpha ;+\infty[$.
Quel est le sens de variation de $P$ sur $[\alpha;+\infty[$ si on a $a<0$?Fonction croissante
$f$ est croissante sur I si pour tous réels $a$ et $b$ de I tels que $a \leq b$ on a $f(a) \leq f(b)$ (l'ordre des images est conservé)
$P(v)-P(u)=a(v-u-2\alpha )(v-u)$Si $v>u$ on a $v-u>0$
et si $v>u\geq \alpha$ alors $u+v>2\alpha$ donc $ v+u-2\alpha>0$
Si de plus $a>0$ alors on a un produit de trois facteurs positifs donc $P(v)-P(u)>0$
soit $P(v)>P(u)$
Si $a<0$ alors cette fois $P(v)-P(u)<0$
donc $P(v)-P(u)<0$ soit $P(v) - Déterminer de même le sens de variation de $P$ sur $]-\infty;\alpha]$.
On a cette fois $uSoient $u$ et $v$ tels que $u
et si $u
soit $P(v)
Si $a<0$ alors cette fois $P(v)-P(u)>0$
donc $P(v)-P(u)>0$ soit $P(v)>P(u)$
Récapitulatif:
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