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Une entreprise possède une machine permettent de confectionner des paquets de farine de 1 kg et 2 kg.
Lorsque celle-ci est correctement réglée, deux paquets sur cinq doivent peser 1 kg et les trois autres 2 kg.
Le responsable de la chaîne de production effectue un contrôle sur 250 paquets et en trouve 95 pesant 1kg, les autres pesant alors 2kg.
  1. Avec le contrôle effectué, peut-il considérer que la machine fonctionne correctement?

    Intervalle de fluctuation


    On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
    On note $p$ la fréquence du caractère dans la population totale.
    On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
    Si $0,2\leq p\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
    $f$ appartient à l'intervalle $I_F=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ (intervalle de fluctuation de l'échantillon de taille $n$)

    Prise de décision


    On veut finalement savoir si l'hypothèse formulée, à savoir la fréquence $p$ de la population totale, peut être validée ou non.
    On utilise alors la fréquence $f$ de l'échantillon:
    Si $f\in I_F$ alors on peut valider l'hypothèse $p$ au seuil de confiance de 95% Si $f\notin I_F$, on peut rejeter l'hypothèse $p$ avec un risque d'erreur maximum de 5%
    penser á vérifier que les conditions d'application pour effectuer les calculs sont satisfaites
    Il faut déterminer l'intervalle de fluctuation.
    On ici $n\geq 25$ puisque $n=250$.
    En considérant le nombre de paquets pesant 1kg, on a $p=\dfrac{2}{5}=0,4$
    donc on a bien $p\in[0,2;0,8]$.
    $p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,4-\dfrac{1}{\sqrt{250}}\approx 0,33$ (on doit arrondir la borne inférieure par défaut)
    $p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,4+\dfrac{1}{\sqrt{250}}\approx 0,47$ (on doit arrondir la borne supérieure par excès)

    95 paquets pèsent 1kg parmi les 250 donc $f=\dfrac{95}{250}=0,38$
    donc $f\in I_F$
  2. Il effectue un second contrôle et obtient l'intervalle de fluctuation $I_F=[0,38;0,42]$.
    Quelle est la taille de l'échantillon contrôlé?
    Il faut écrire un équation d'inconnue $n$ en utilisant l'une des bornes de $I_F$.
    Si on note $n$ l'effectif de l'échantillon contrôlé, on a $p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42$
    $0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42-0,4$
    $\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,02$
    $\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow \sqrt{n}=\dfrac{1}{0,02}$
    $\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow \sqrt{n}=50$
    $\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow n=50^2$
  3. A quel intervalle doit appartenir $q$ le nombre de paquets de 1kg parmi les 2500 contrôlés pour qu'il n'y ait pas de raison de remettre en cause le réglage de la machine?
    On doit avoir $f\in I_F$ avec $f=\dfrac{q}{2500}$
    La fréquence du nombre de paquets de 1kg parmi les 2500 est $f=\dfrac{q}{2500}$.
    On veut donc $f\in I_F$ soit $0,38\leq \dfrac{q}{2500}\leq 0,42$.
    $0,38\leq \dfrac{q}{2500}\leq 0,42 \Longleftrightarrow 0,38\times 2500\leq q \leq 0,42\times 2500$
    $\phantom{0,38\leq \dfrac{q}{2500}\leq 0,42} \Longleftrightarrow 950\leq q \leq 1050$

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