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- Si on place 2000 euros, quel sera le capital disponible après 10 années arrondi à l'euro?
Coefficient d'évolution
On considère la valeur initiale $V_i $ et la valeur finale $V_f$ d'une quantité.
La variation relative ou coefficient d'évolution de la quantité est le nombre $k=\dfrac{V_f}{V_i}$ c'est à dire le coefficient multiplicateur permettant de passer de $V_i$ à $V_f$.
Ce coefficient est donc $k=\dfrac{V_f}{V_i}$. Ne pas confondre avec la variation absolue qui vaut $V_f-V_i$Évolutions successives
Si on applique $n$ évolutions successives ayant pour taux d'évolution $t_1$, $t_2$,...$t_n$ alors on a appliqué un taux d'évolution $(1+t_1)(1+t_2)...(1+t_n)$.
En effet, à chaque évolution on applique le coefficient multiplicateur $k_i=1+t_i$On applique chaque année le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 4Augmenter une valeur de 4% revient à lui appliquer chaque année le coefficient multiplicateur $k_1=1+\dfrac{4}{100}=1,04$
On applique dix augmentations successives de 4 donc on aura multiplié le capital par $k=k_1^{10}=1,04^{10}$.
$2000\times 1,04^{10}\approx 2960,49$
- Pour rassurer son client, la banque propose que le capital acquis au bout de cinq années soit au minimum 2420 euros.
Quel est alors le pourcentage global d'augmentation du capital sur ces cinq années?Il faut déterminer le pourcentage d'augmentation pour passer de 2000 à 2420 euros.
On peut utiliser le coefficient multiplicateur permettant de passer de 2000 à 2420 puis en déduire le pourcentage d'augmentation correspondant.
On peut aussi effectuer le calcul directement $t=\dfrac{V_F-V_I}{V_I}\times 100$$t=\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur-initiale}}{\text{valeur initiale}}\times 100=\dfrac{2420-2000}{2000}\times 100=21$
Le coefficient multiplicateur permettant de passer de 2000 à 2400 est $k=\dfrac{2420}{2000}=1,21$
ce qui correspond au pourcentage d'augmentation $t=(k-1)\times 100=(1,21-1)\times 100=21$
- Finalement, sur les cinq premières années, le taux d'intérêt aura été de 4% la première année, de 3,1% la seconde année, de 3,2% la troisième année, de 4,1% la quatrième et cinquième année.
La proposition de la banque avec un capital de 2420 euros minimum était-elle intéressante?Taux d'évolution
Le taux d'évolution d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ est la variation relative de l'évolution par rapport à la valeur initiale soit: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$. En calculant $t\times 100$ on obtient le pourcentage d'évolution.Il faut déterminer le coefficient multiplicateur associé à chaque augmentationOn aura multiplié, dans cet ordre, le capital de départ par $1+\dfrac{4}{100}=1,04$, par $1+\dfrac{3,1}{100}=1,031$, par $1+\dfrac{3,2}{100}=1,032$ puis deux fois par $1+\dfrac{4,1}{100}=1,041$
Le capital final après ces cinq années sera donc :
$2000\times 1,04\times 1,031\times 1,032\times 1,041^2\approx 2405$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Évolutions successives et réciproques
- déterminer le taux d'évolution global équivalent à plusieurs évolutions successives
- déterminer un taux d'évolution réciproque
infos: | 8-10mn |
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