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Le point $M$ est défini par la relation $2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$ avec $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
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- Montrer que $A$, $M$ et $B$ sont alignés
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
Remarque
Deux vecteurs colinéaires ont donc la même directionOn peut exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{BM}$ pour montrer que les vecteurs sont colinéaires$2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{BM}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BM}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont colinéaires
- Exprimer $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ puis construire alors le point $M$.
Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
on peut décomposer $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$$2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}-3(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM})=\overrightarrow{0}$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$
$\Longleftrightarrow 2\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{BA}$
$\Longleftrightarrow -\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{AB}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Point défini par une relation vectorielle
- construction d'un point (sans repère)
- coordonnées du symétrique d'un point
- calcul des coordonnées d'un point
infos: | 15-20mn |
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