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$x$ est un réel de l'intervalle $[0;8]$ et dans un rectangle de dimensions 4cm et $x$ cm, on trace deux cercles tangents comme sur la figure ci-dessous.
On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire rouge est supérieure à l'aire verte.
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On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire rouge est supérieure à l'aire verte.
- Montrer que l'on doit résoudre l'inéquation $\pi x^2 \leq 16x$.
Rappel: l'aire d'un cercle de rayon $r$ est $\pi r^2$- Aire $A_1$ des deux disques jaunes
Chaque disque jaune a pour diamètre $\dfrac{x}{2}$ et pour rayon $\dfrac{x}{4}$.
$A_1=2\times \pi \left(\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{2x^2}{16}=\dfrac{\pi x^2}{8}$
- L'aire $A_2$ de la zone rouge (aire du rectangle$-$ aire des deux disques)
$A_2=4x-A_1=4x-\dfrac{\pi x^2}{8}$
On veut $A_2 \geq A_1$.
$4x-\dfrac{\pi x^2}{8}\geq \dfrac{\pi x^2}{8}$
$\Longleftrightarrow 4x\geq \dfrac{\pi x^2}{8}+\dfrac{\pi x^2}{8}$
$\Longleftrightarrow 4x\geq \dfrac{2\pi x^2}{8}$
$\Longleftrightarrow 4x\geq \dfrac{\pi x^2}{4}$
$\Longleftrightarrow 16x\geq \pi x^2$
- Montrer que cela revient à résoudre l'inéquation $16-\pi x \geq 0$ puis déterminer les valeurs de $x$ possibles.
On peut factoriser par $x$ après avoir tous les termes dans le membre de droite$\pi x^2 \leq 16x \Longleftrightarrow 0 \leq 16x-\pi x^2$
$\phantom{\pi x^2 \leq 16x} \Longleftrightarrow 0 \leq x(16-\pi x)$
$\phantom{\pi x^2 \leq 16x} \Longleftrightarrow 0 \leq 16-\pi x$ car $x \geq 0$
On doit donc chercher les valeurs de $x$ telles que $16-\pi x \geq 0$
$16-\pi x \geq 0 \Longleftrightarrow -\pi x \geq -16 \Longleftrightarrow x\leq \dfrac{19}{\pi}$ l'inégalité change de sens en divisant par $-\pi$
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