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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Le plan est muni d'un repère orthonormé (même unité sur les deux axes).
  1. L'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M(x;y)$ du plan est défini par $|x|\leq 2$ et $|y|\leq 2$.
    Représenter l'ensemble $\mathcal{E}$.

    Valeur absolue


    Soit $x$ un nombre réel, la valeur absolue de $x$ notée $|x|$ est:
    $|x|=x$ si $x\geq 0$
    $|x|=-x$ si $x < 0$
    On a $|x|\leq 2$ donc $-2\leq x \leq 2$
    et $|y|\leq 2$ donc $-2\leq y\leq 2$

  2. L'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M(x;y)$ du plan est défini par $|x-1|\leq 2$ et $|y+2|\leq 2$.
    Représenter l'ensemble $\mathcal{F}$.

    Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$


    Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
    On veut $AM \leq r$.
    L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
    Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.

    donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$
    $|x-1|\leq 2$
    donc $x$ appartient à l'intervalle fermé de centre $c=1$ et rayon $r=2$
    donc $x\in [1-2;1+2]$ soit $x\in[-1;3]$

    On peut aussi résoudre en écrivant $-2\leq x-1\leq 2$
    $|y+2|\leq 2$ soit $|y-(-2)|\leq 2$
    donc $y$ appartient à l'intervalle fermé de centre $c'=-2$ et rayon $r'=2$
    donc $x\in [-2-2;-2+2]$ soit $x\in[-4;0]$


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