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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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On note $a$ un nombre irrationnel positif.
  1. En supposant que $\sqrt{a}\in \mathbb{Q}$, montrer que la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
    On peut poser $\sqrt{a}=\dfrac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}^*$
    On suppose que $\sqrt{a}$ est un nombre rationnel
    donc il existe$p\in \mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}^*$ tel que $\sqrt{a}=\dfrac{p}{q}$
    donc $a=\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p^2}{q^2}$
    or $p$ et $q$ entiers donc $p^2$ et $q^2$ entiers
    donc $a$ est un nombre rationnel
    ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ

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