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On note $a$ un nombre irrationnel positif.
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- En supposant que $\sqrt{a}\in \mathbb{Q}$, montrer que la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
On peut poser $\sqrt{a}=\dfrac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}^*$On suppose que $\sqrt{a}$ est un nombre rationnel
donc il existe$p\in \mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}^*$ tel que $\sqrt{a}=\dfrac{p}{q}$
donc $a=\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p^2}{q^2}$
or $p$ et $q$ entiers donc $p^2$ et $q^2$ entiers
donc $a$ est un nombre rationnel
ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ
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