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On a fait construire une piscine de 8 m de longueur dont le plan en coupe est donné ci-dessous.
Le fond n'est pas plat. On a un premier palier de profondeur 1,2 m sur une longueur de 1 m puis une descente à pente constante pour atteindre, 2 m avant le bord, un second palier de profon- deur 2,2 m.
On souhaite, pour des raisons de sécurité, indiquer par une marque, sur l'axe $(OA)$, l?endroit où la profondeur est de 1,5 m.
Où doit-on placer cette marque ?
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Le fond n'est pas plat. On a un premier palier de profondeur 1,2 m sur une longueur de 1 m puis une descente à pente constante pour atteindre, 2 m avant le bord, un second palier de profon- deur 2,2 m.
On souhaite, pour des raisons de sécurité, indiquer par une marque, sur l'axe $(OA)$, l?endroit où la profondeur est de 1,5 m.
Où doit-on placer cette marque ?
- Donner les coordonnées des points $C$ et $D$ dans le repère $(O;I;J)$
- Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CD)$.
Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$
Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)$\begin{cases} x_D-x_C=6-1=5\\ y_D-y_C=-2,2-(-1,2)=-1\end{cases}$
donc $\overrightarrow{CD}(5;-1)$ est un vecteur directeur de $(CD)$
Méthode 1
Soit $M(x;y)$ un point de $(CD)$, $\overrightarrow{CM}(x-1;y+1,2)$
$\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires
$det(\overrightarrow{CM};\overrightarrow{CD})=0$
$\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}x-1&5\\ y+1,2&-1\end{bmatrix}=0$
$\Longleftrightarrow -1(x-1)-5(y+1,2)=0$
$\Longleftrightarrow -1x+1-5y-6=0$
$\Longleftrightarrow -x-5y-5=0$
Méthode 2
$\overrightarrow{CD}(5;-1)$ est un vecteur directeur de $(CD)$ donc
$\overrightarrow{CD}(-b;a)$ donc $a=-1$ et $b=-5$
donc $(CD)$ admet une équation cartésienne de la forme $-x-5y+c=0$
$C\in (CD) \Longleftrightarrow -1-5\times (-1,2)+c=0 \Longleftrightarrow 5+c=0 \Longleftrightarrow c=-5$
- En déduire la position de la marque sur l'axe $(OA)$.
On veut trouver l'abscisse du point de $(CD)$ tel que $y=-1,5$La marque correspond à l'abscisse du point $F$ de $(CD)$ d'ordonnée $-1,5$(voir figure ci-dessous)
$F\in (CD)$ et $y_F=-1,5$
donc $-x_F-5y_F-5=0$
$\Longleftrightarrow -x_F-5\times (-1,5)-5=0$
$\Longleftrightarrow -x_F+7,5-5=0$
$\Longleftrightarrow -x_F+2=0$
$\Longleftrightarrow -x_F=-2$
$\Longleftrightarrow x_F=2$
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