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On considère l'équation $E$: $4x+3y=2$
- En déduire que l'équation $E$ admet au moins une solution
corollaire du théorème de Bezout
L'équation $ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $c$ est un multiple de PGCD$(a,b)$PGCD$(4,3)=1$ et $1$ divise $2$
- Déterminer un couple d'entiers $x$ et $y$ solution de $E$
$4\times 2+3\times (-2)=8-6=2$
- En déduire toutes les solutions de $E$
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$On a $4x+3y=4\times 2+3\times (-2)=2$$4x+3y=4\times 3+3\times (-2)=6$
$4x+3y=4\times 2+3\times (-2) \Longleftrightarrow 4x-4\times 2=-3y+3\times (-2)$
$\phantom{4x+3y=4\times 3+3\times (-2) } \Longleftrightarrow 4(x-2)=3(-y-2)$
PGCD$(4,3)=1$ donc $4$ et $3$ sont premiers entre eux et $4$ divise $3(-y-2)$
et d'après le théorème de Gauss, $4$ divise $-y-2$
donc $-y-2=4k$ avec $k\in \mathbb{Z}$
soit $y=-4k-2$
$4x+3(-4k-2)=2 \Longleftrightarrow 4x-12k-6=2$
$\phantom{4x+3(-4k-2)=2} \Longleftrightarrow 4x=12k+8$
$\phantom{4x+3(-4k-2)=2} \Longleftrightarrow x=3k+2$
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