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- Montrer que $17$ et $40$ sont premiers entre eux et déterminer un couple d'entiers $(x;y)$ tels que $17x-40y=1$
Algorithme d'Euclide
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $aIl faut utiliser les restes des divisions euclidiennes successives$L_1$: $40=17\times 2+6$ donc $d=17$ et $r=6$
$L_2$ :$17=6\times 2+5$ donc $d=6$ et $r=5$
$L_3$: $6=5\times 1+1$ donc $d=5$ et $r=1$
$L_4$: $5=5\times 1+0$ donc $r=0$
Le dernier reste non nul est $1$ donc PGCD$(40,17)=1$
Avec $L_3$ on a $1=6-5\times 1$
Avec $L_2$ on a $17-6\times 2=5$ et en remplaçant dans l'égalité précédente:
$1=6-(17-6\times 2)\times 1=-17+6\times 3$
Avec $L_1$ on a $40-17\times 2=6$ et en remplaçant dans l'égalité précédente:
$1=-17+(40-17\times 2)\times 3$
$~~~=-17+40\times 3-17\times 6$
$~~~=40\times 3-17\times 7$
donc $1=-17\times 7-40\times (-3)$
- Montrer que $221$ et $331$ sont premiers entre eux et déterminer un couple d'entiers $(x;y)$ tels que $221x-331y=1$
$L_1$: $331=221\times 1+110$ donc $d=221$ et $r=110$
$L_2$ :$221=110\times 2+1$ donc $d=110$ et $r=1$
$L_3$: $110=110\times 1+0$ donc $d=1$ et $r=0$
Le dernier reste non nul est $1$ donc PGCD$(221,331)=1$
Avec $L_2$ on a $1=221-110\times 2$
Avec $L_1$ on $331-221\times 1=110$ et en remplaçant dans l'égalité précédente:
$1=221-(331-221\times 1)\times 2$
$1=221-331\times 2+221\times 2$
$1=221\times 3-331\times 2$
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