Si $x\equiv 0$ $(4)$ on a $x^2\equiv 0^2$ $(4)$ puisque $x^2-0$ divisible par $4$
Si $x\equiv 1$ $(4)$ on a $x^2\equiv 1^2$ $(4)$ soit $x^2\equiv 1$ $(4)$
Si $x\equiv 2$ $(4)$ on a $x^2\equiv 2^2$ $(4)$ soit $x^2\equiv 4$ $(4)$ et on a $4\equiv 0$ $(4)$
Si $x\equiv 3$ $(4)$ on a $x^2\equiv 3^2$ $(4)$ soit $x^2\equiv 9$ $(4)$ et $9\equiv 1$ $(4)$ puisque $9-1=8$ est divisible par $4$
donc $x^2\equiv 1$ $(4)$

D'après le tableau on a deux possibilités, $x^2\equiv 0$ $(4)$ ou $x^2\equiv 1$ $(4)$
et $y^2\equiv 0$ $(4)$ ou $y^2\equiv 1$ $(4)$
$7\equiv 3$ $(4)$ puisque $7-3=4$ est divisible par $4$ (ou bien $7=4\times 1+3$)
$x^2\equiv 0$ $(4)$ ou $x^2\equiv 1$ $(4)$ et $7\equiv 3$ $(4)$
donc par produit $7x^2$ est congru à $0\times 3=0$ ou $1\times 3=3$ modulo $4$
$-4\equiv 0$ $(4)$ et $y^2\equiv y^2$ $(4)$
donc par produit $-4y^2\equiv 0$ $(4)$
$7x^2$ est congru à $0\times 3=0$ ou $1\times 3=3$ modulo $4$
et $-4y^2\equiv 0$ $(4)$
donc par somme $7x^2-4y^2$ est congru soit à $0$ ou $3$ modulo $4$
donc $7x^2-4y^2=4k$ ou $7x^2-4y^2=4k+3$ avec $k\in \mathbb{Z}$
donc $7x^2-4y^2\neq 1$
donc cette équation n'admet aucune solution dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$

Si on pose $X=x+3$ alors d'après le tableau $X^2\equiv 1$ $(4)$ pour $X\equiv 1$ $(4)$ ou $X\equiv 3$ $(4)$
$x+3\equiv 1$ $(4)$ et $-3\equiv -3$ $(4)$
donc par somme $x\equiv -2$ $(4)$ et $0\equiv 4$ $(4)$ donc par somme $x\equiv 2$ $(4)$
donc $x=4k+2$ avec $k\in \mathbb{Z}$
ou $x+3\equiv 3$ $(4)$ et $-3\equiv -3$ $(4)$
donc par somme $x\equiv 0$ $(4)$
soit $x=4k'$ avec $k'\in \mathbb{Z}$ (multiples de $4$)
$S=\lbrace 4k; 4k+2\rbrace$ avec $k\in \mathbb{Z}$