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- Montrer que pour tout entier $n$ on a $n(n-1)$ pair.
Un entier pair est de la forme $2k$ avec $k$ entier relatifSi $n$ est pair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
$n(n-1)=2k(n-1)=2K$ avec $K=k(n-1)$ entier relatif
donc $n(n-1)$ est pair
Si $n$ est impair alors il existe un entier relatif $k'$ tel que $n=2k'+1$
$n(n-1)=n(2k'+1-1)=n(2k')=2nk'=2K'$ avec $K'=nk'$ entier relatif
donc $n(n-1)$ est pair
- Montrer que si $n$ est impair alors $n^2-1$ est divisible par $8$.
Entiers pairs et impairs
Si $n$ est un entier relatif pair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$
Si $n$ est un entier relatif impair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$Si $n$ impair alors $n=2k-1$Si $n$ est impair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k-1$
$n^2-1=(2k-1)^2-1=4k^2-4k+1-1=4k(k-1)$
Or d'après la question 1 on a $k(k-1)$ pair
donc il existe un entier relatif $k'$ tel que $k(k-1)=2k'$
donc $n^2-1=4k(k-1)=4\times 2k'=8k'$
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