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- Pour quelles valeurs de $n$ entier naturel a-t'on $n+8$ divisible par $n$?
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
$b$ divise $a$ et on note $b|a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$On cherche les entiers $k$ tels que $n+8=kn$$n+8$ divisible par $n $ donc il existe un entier naturel $k$ (car $n$ entier naturel) tel que $n+8=kn$
$n+8=kn\Longleftrightarrow 8=kn-n\Longleftrightarrow 8=(k-1)n$
donc $n$ divise $8$
or les diviseurs de $8$ sont $1$, $2$, $4$ et $8$ - Soit $n$ un entier relatif, pour quelles valeurs de $n$ le quotient $\dfrac{6n+12}{2n+1}$ est un entier relatif?
On a donc $6n+12$ divisible par $2n+1$.$\dfrac{6n+12}{2n+1}$ est un entier relatif si et seulement si $6n+12$ divisible par $2n+1$
Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $6n+12=k(2n+1)$
$6n+12=k(2n+1)\Longleftrightarrow 3(2n+4)=k(2n+1)$
$\phantom{6n+12=k(2n+1)}\Longleftrightarrow 3(2n+1+3)=k(2n+1)$
$\phantom{6n+12=k(2n+1)}\Longleftrightarrow 3(2n+1)+9=k(2n+1)$
$\phantom{6n+12=k(2n+1)}\Longleftrightarrow 9=k(2n+1)-3(2n+1)$
$\phantom{6n+12=k(2n+1)}\Longleftrightarrow 9=(2n+1)(k-3)$
donc $2n+1$ est un diviseur de $9$.
Les diviseurs de $9$ sont $1$, $3$ et $9$ et $-1$, $-3$ et $-9$
donc $2n+1=1\Longleftrightarrow n=0$
ou bien $2n+1=3\Longleftrightarrow n=1$
ou bien $2n+1=9\Longleftrightarrow n=4$
ou bien $2n+1=-1\Longleftrightarrow n=-1$
ou bien $2n+1=-3\Longleftrightarrow n=-2$
ou bien $2n+1=-9\Longleftrightarrow n=-5$
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