Méthode géométrique
$|2z-i|=1 \Longleftrightarrow \left|2\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow |2|\left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 2\left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=1$ (on a $|2|=2$)
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow \left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=\dfrac{1}{2}$
On pose $z_A=\dfrac{i}{2}$ et on a alors $\left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=|z-z_A|=AM$
$|2z-i|=1 \Longleftrightarrow AM=\dfrac{1}{2}$
donc l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $A\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
Méthode analytique
On pose $z=x+iy$
$|2z-i|=1 \Longleftrightarrow |2(x+iy)-i|=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow |2x+i2y-i|=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow \sqrt{(2x)^2+(2y-1)^2}=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4x^2+(2y-1)^2=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4x^2+\left(2\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4x^2+4\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4\left(x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\right)=1$
$\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$
on a donc $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$ avec $A(0;\dfrac{1}{2})$ et $r=\dfrac{1}{2}$

donc l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $A\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.

$|i-2z|\geq 0$
donc l'ensemble des points $M$ est l'ensemble vide.}

On pose $A$ d'affixe $z_A=-1$ et $B$ d'affixe $z_B=-2$.
$\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z+1|}{|z+2|}=1$
$\phantom{\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1}\Longleftrightarrow |z+1|=|z+2|$
$\phantom{\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1}\Longleftrightarrow |z-(-1)|=|z-(-2)|$
$\phantom{\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1}\Longleftrightarrow AM=BM$
donc $M$ est équidistant de $A$ et $B$
donc l'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

On pose $A$ d'affixe $z_A=2i$ et $B$ d'affixe $1-2i$
On a alors $\dfrac{z-2i}{z-1+2i}=\dfrac{z-z_A}{z-z_B}$ avec $z\neq z_A$ et $z\neq z_B$
et donc $arg\left(\dfrac{z-2i}{z-1+2i}\right)=arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=(\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AM})$
On veut donc $(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM})=\dfrac{\pi}{2} (\pi)$
On a donc $ABM$ triangle rectangle en $M$
donc l'ensemble des points $M$ est le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$.