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- Calculer $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$.
En déduire la valeur exacte de $cos(\dfrac{\pi}{12})$.Formules d'addition
Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$
$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$
$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$Ecrire $cos(\dfrac{\pi}{12})=cos(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})$ puis utiliser les formules d'addition.$\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}$
$cos(\dfrac{\pi}{12})=cos(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})$
$\phantom{cos(\dfrac{\pi}{12})}=cos(\dfrac{\pi}{3})cos(\dfrac{\pi}{4})+sin(\dfrac{\pi}{3})sin(\dfrac{\pi}{4})$
$cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$, $cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\phantom{cos(\dfrac{\pi}{12})}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}+ \dfrac{\sqrt{6}}{4}$
$\phantom{cos(\dfrac{\pi}{12})}=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}$
- Calculer $cos(\dfrac{\pi}{12})$ d'une autre façon en utilisant $cos(\dfrac{\pi}{6})$
Formules de duplication
Pour tout réel $a$, on a:
$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)$
$cos(2a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$
$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$Ecrire $cos(\dfrac{\pi}{6})=cos(\dfrac{2\pi}{12})$$cos(\dfrac{\pi}{6})=cos(\dfrac{2\pi}{12})$
$cos(\dfrac{\pi}{6})=cos(\dfrac{2\pi}{12})=2cos^2(\dfrac{\pi}{12})-1$
donc $2cos^2(\dfrac{\pi}{12})-1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\phantom{\Longleftrightarrow}2cos^2(\dfrac{\pi}{12})-1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\Longleftrightarrow 2cos^2(\dfrac{\pi}{12})=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$
$\Longleftrightarrow cos(\dfrac{\pi}{12})=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}$ car $cos(\dfrac{\pi}{12})>0$
- Vérifier que les valeurs obtenues avec chaque méthode sont égales.
On peut vérifier que les carrés des deux nombres sont égaux.Avec la question 2, on a $ cos(\dfrac{\pi}{12})=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}$
$\left( \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}\right)^2=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$
Avec la question 1, on a $cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}$
$\left( \dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}\right)^2=\dfrac{2(1+2\sqrt{3}+3)}{16}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{8}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$
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