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On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous, pour lequel $AB = 4$cm, $BC =5$cm et $BF = 7$cm.
$I$, $J$ et $K$ sont les points tels que $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BJ} = \dfrac{2}{5} \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BK} = \dfrac{2}{7} \overrightarrow{BF}$.

On se place dans le repère $\left(B; \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BK}\right)$.
  1. Quelle est la nature du repère $\left(B; \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BK}\right)$?
    Il faut vérifier que les axes du repère sont orthogonaux deux à deux et que $BI=BJ=BK$
    $ABCDEFGH$ est un pavé droit donc $(BI)\perp (BJ)$, $(BI)\perp (BK)$ et $(BJ)\perp (BK)$
    $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}$ donc $I$ milieu de $[AB]$ et $AB=4$cm donc $BI=AI=2$cm.
    $\overrightarrow{BJ} = \dfrac{2}{5} \overrightarrow{BC}$ et $BC=5$cm donc $BJ=2$cm
    et $\overrightarrow{BK} = \dfrac{2}{7} \overrightarrow{BF}$ avec $BF=7$cm donc $BK=2$cm
    donc $BI=BJ=BK$
  2. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- \dfrac{18}{7}\end{pmatrix}$ est normal au plan $(IJH)$.

    Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


    Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
    $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

    Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace


    Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
    Il faut vérifier que le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IH}$
    $I(1;0;0)$, $J(0;1;0)$
    On se place dans le repère orthonormé $\left(B; \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BK}\right)$ donc $I(1;0;0)$, $J(0;1;0)$ et $K(0;0;1)$
    $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GH}$
    $\phantom{\overrightarrow{BH}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BA}$
    $\phantom{\overrightarrow{BH}}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{7}{2}\overrightarrow{BK}+2\overrightarrow{BI}$
    $\phantom{\overrightarrow{BH}}=2\overrightarrow{BI}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{7}{2}\overrightarrow{BK}$
    soit $G\left(2;\dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2}\right)$
    On a donc $\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix} -1\\ 1\\0 \end{pmatrix}$
    et $\begin{cases} x_{\overrightarrow{IG}}=x_G-x_I=2-1=1\\ y_{\overrightarrow{IG}}=y_G-y_I=\dfrac{5}{2}-0=\dfrac{5}{2}\\ z_{\overrightarrow{IG}}=z_G-z_I=\dfrac{7}{2}-0=\dfrac{7}{2} \end{cases}$ donc $\overrightarrow{IG}\begin{pmatrix} 2\\ \dfrac{5}{2}\\\dfrac{7}{2} \end{pmatrix}$
    $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{IJ}=2\times (-1)+2\times 1-\dfrac{18}{7}\times 0=2-2=0$
    $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{IG}=2\times 2+2\times \dfrac{5}{2}-\dfrac{18}{7}\times \dfrac{7}{2}=4+5-9=0$
    donc le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IH}$
  3. En déduire une équation cartésienne du plan $(IJH)$.

    Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


    Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
    $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
    Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans $ax+by+cz+d=0$ sont donnés par les coordonnées d'un vecteur normal au plan $(IJH)$ et on détermine $d$ en utilisant les coordonnées du point $I$ par exemple
    $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\2\\- \dfrac{18}{7}\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(IJH)$
    donc une équation cartésienne de $(IJH)$ est de la forme $2x+2y-\dfrac{18}{7}z+d=0$.
    $I(1;0;0) \in (IJH)\Longleftrightarrow 2x_I+2y_I-\dfrac{18}{7}z_I+d=0 \Longleftrightarrow 2+d=0 \Longleftrightarrow d=-2$


    En multipliant les deux membres par 7, on a aussi $14x+14y-18z-14=0$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CG)$ et en déduire les coordonnées du point d'intersection $M$ du plan $(IJH)$ et de la droite $(CG)$ .

    Représentation paramétrique d'une droite


    Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$
    $\overrightarrow{CG}=\dfrac{7}{2}\overrightarrow{BK}$ donc $\overrightarrow{BK}$ est un vecteur directeur de $(CG)$
    $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{BF}=\dfrac{7}{2}\overrightarrow{BK}$
    donc $\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(CG)$ et $C\left(0;\dfrac{5}{2};0\right)$.
    donc $\begin{cases} x=x_C+tx_{\overrightarrow{BK}}=0+0t=0\\ y=y_C+ty_{\overrightarrow{BK}}=\dfrac{5}{2}+0t=\dfrac{5}{2}\\ z=z_C+tz_{\overrightarrow{BK}}=0+t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de $(CG)$.
    $M \in (CG)$ donc $M\left(0;\dfrac{5}{2};t\right)$ et $M\in (IJH)$ donc $2x_M+2y_M-\dfrac{18}{7}z_M-2=0$
    Il faut donc résoudre l'équation $2\times 0+2\times \dfrac{5}{2}-\dfrac{18}{7}\times t-2=0$ d'inconnue $t$.
    $0+5-\dfrac{18}{7}t-2=0\Longleftrightarrow -\dfrac{18}{7}t=-3 \Longleftrightarrow t=\dfrac{21}{18}$
    donc $z_M=t=\dfrac{21}{18}=\dfrac{7}{6}$
  5. Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(IJH)$ en utilisant le point $M$.
    Ce tracé sera réalisé sur la figure.

    théorème du toit


    Lorsque deux plans $P$ et $P'$ sont sécants et contiennent respectivement les droites $d$ et $d'$, l'intersection de $P$ et de $P'$ est une droite $\Delta$ parallèle à $d$ et à $d'$.
    Il faut déterminer les intersections plan $(IJH)$ avec chacune des faces du pavé.
    L'intersection de $(IJH)$ et $ABCD$ est $(IJ)$
    L'intersection de $(IJH)$ et $(CG)$ est $M$ et $z_M=\dfrac{7}{6}$ donc $CL=\dfrac{7}{6}BK$
    donc l'intersection de $(IJH)$ et $BCGF$ est $(JM)$
    et l'intersection de $(IJH)$ et $CDHG$ est $(HM)$.
    Les faces $BCGF$ et $ADHE$ sont parallèles donc avec le théorème du toit, l'intersection de $(IJH)$ et $ADHE$ est une droite passant par $H$ et parallèle à $(JM)$.
    Les faces $ABFE$ et $DCGH$ sont parallèles donc avec le théorème du toit, l'intersection de $(IJH)$ et $ABFE$ est une droite passant par $I$ et parallèle à $(HM)$.

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Equation cartésienne d'un plan

- vecteur normal
- déterminer une équation d'un plan
- position relative d'une droite et d'un plan
- intersection de droites et plans


infos: | 15-20mn |