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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
Dans chaque cas, déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
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Dans chaque cas, déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
- $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
2\\3\\-3
\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}
6\\-3\\2
\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}
2\\9\\-11
\end{pmatrix}$.
-
vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.
On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
Il fayt écrire un système d'équations avec les coordonnées des vecteursOn veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
soit $\begin{cases} x_{\overrightarrow{w}}=ax_{\overrightarrow{u}}+b x_{\overrightarrow{v}}\\ y_{\overrightarrow{w}}=ay_{\overrightarrow{u}}+b y_{\overrightarrow{v}}\\ z_{\overrightarrow{w}}=az_{\overrightarrow{u}}+b z_{\overrightarrow{v}} \end{cases}$
On a donc le système d'équations suivant:
$\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ -11=-3a+2b \end{cases}$
Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
$\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 1=a+3b\\ 3=a-b \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3b\\ 3=(1-3b)-b \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3b\\ 2=-4b \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3\times \dfrac{-1}{2}\\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{5}{2}\\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
On regarde ensuite si la troisième égalité ($ -11=-3a+2b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
$ -3a+2b=-3\times \dfrac{5}{2}+2\times \dfrac{-1}{2}=\dfrac{-17}{2}\neq -11$
- $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}
2\\-3\\-4
\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}
-4\\13\\18
\end{pmatrix}$.
-
On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
On a donc le système d'équations suivant:
$\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b\\ 18=3a-4b \end{cases}$
Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
$\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=-4-2b\\ 13=2(-4-2b)-3b \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=-4-2b\\ 21=-7b \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=-4-2\times (-3)\\ b=-3 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=2\\ b=-3 \end{cases}$
On regarde ensuite si la troisième égalité ($ 18=3a-4b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
$3a-4b=3\times 2-4\times (-3)=6+12=18$
donc $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$
- $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
-2\\5\\1
\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}
3\\1\\-2
\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}
-4\\27\\1
\end{pmatrix}$.
-
On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
On a donc le système d'équations suivant:
$\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b\\ 1=a-2b \end{cases}$
Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
$\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -4=-2a+3(27-5a)\\ b=27-5a \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} -85=-17a\\ b=27-5a \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=5\\ b=27-5\times 5 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=5\\ b=2 \end{cases}$
On regarde ensuite si la troisième égalité ($ 1=a-2b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
$ a-2b=5-2\times 2=1$
donc $\overrightarrow{w}=5\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Vecteurs et points coplanaires
- justifier que trois vecteurs sont coplanaires avec leurs coordonnées
- justifier que 4 points sont coplanaires
infos: | 15-20mn |
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